255 Komplexe Zahlen > Rechnen mit komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung Multiplikation und Division komplexer Zahlen Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen werden die bekannten Rechenregeln aus ℝ angewendet. (a + b · i) · (c + d · i) = a·c + b·c·i + a·d·i + b·d·i2 = = a · c + b · c · i + a · d · i − b · d = (a · c − b · d) + (a · d + b · c) · i Multiplikation komplexer Zahlen Für zwei komplexe Zahlen a + b · iund c + d · imit a, b, c, d ∈ ℝ gilt: (a + b · i) · (c + d · i) = (a · c − b · d) + (a · d + b · c) · i Berechne das Produkt. a) (11 · i) · 5 b) (− 9 i) · (− 8 i) c) (− 4 + 2 i) · 5 d) (2 − i) · (− 3 + 4 i) a) (11 · i) · 5 = (11 · 5) · i = 55 i b) (− 9 i) · (− 8 i) = (− 9) · (− 8) ·i·i = 72·i2 = 72 · (− 1) = − 72 c) (− 4 + 2 i) · 5 = − 4 · 5 + (2 i) · 5 = − 20 + 10 i d) (2 − i) · (− 3 + 4 i) = 2 · (− 3) − i · (− 3) + 2 · 4 i − i · 4 i = = − 6 + 3 i + 8 i − 4 i 2 = − 6 + 11 i + 4 = − 2 + 11 i Berechne das Produkt. a) 7 · (8 · i) c) (15 i) · (6 i) e) 6 · (− 2 + 11 i) g) (2 + 9 i) · (− 1 + 8 i) b) (12 · i) · 6 d) (− 10 i) · (21 i) f) − 2 i · (3 − 10 i) h) (− 1 + 2 i) · (− 3 − 4 i) Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E (− 3 i) · (− 2 i) = 6 i (2 + i) · i = 1 + 2 i (− 6 i) · i = 6 − i · (1 − i) = 1 − i − i · (1 + i) = 1 − i Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = − 2 + 5i, z2 = 6 + iund z3 = − 3 i. Ermittle das Ergebnis. a) z 1 · z 2 c) 3 z 1 − 2 z 3 e) 2 z 1 − 3 z 2 + 5 z3 b) z 1 · z 2 · z 3 d) − 4 z 2 + 3 z3 f) − 5 z 1 + 6 z2 − 4 z 3 Berechne die Potenz. a) (− 2 + 9 i) 2 b) (1 − 2 i) 3 Verwende die binomischen Formeln und die Potenzen von i, um die Werte der Potenzen zu berechnen. a) (− 2 + 9 i) 2 = (− 2) 2 + 2 · (− 2) · 9 i + (9 i) 2 = 4 − 36i + 81i2 = 4 − 36 i − 81 = − 77 − 36 i b) (1 − 2 i) 3 = 1 3 − 3 · 1 2 · 2 i + 3 · 1 · (2 i) 2 − (2 i) 3 = 1 − 6i + 3·4i2 − 8 i 3 = 1 − 6 i − 12 + 8 i = − 11 + 2 i Berechne die Potenz. a) (4 + 5 i) 2 b) (− 2 + 8 i) 2 c) (− 1 − 7 i) 2 d) (2 + 3 i) 3 e) (4 − i) 3 Multipliziere die komplexe Zahl z mit der konjugiert komplexen Zahl _ z. Was fällt dir auf? a) z = − 7 + 2 i b) z = 3 − i c) z = − 6 i d) z = − 0,5 − 0,25 i Merke Muster 925 926 927 928 Muster 929 930 931 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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