251 Komplexe Zahlen > Die imaginäre Einheit Potenzen von i Die Potenzen der imaginären Einheit ergeben immer die reellen Zahlen 1 bzw. − 1oder die imaginären Zahlen i bzw. − i. i 0 = 1; i 2 = i · i = − 1; i 4 = i 2 · i 2 = (− 1) · (− 1) = 1; i 6 = i 5 ·i = i·i = i2 = − 1 i 1 = i; i 3 = i 2 · i = − 1 · i = − i; i 5 = i 4 · i = 1 · i = i; usw. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an. A 5 · i 3 = − 5 C i 7 = − i E − 3 · i 6 = 729 · (− 1) B (− i) 5 = i D (3 · i) 4 = 81 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an. A i 5 _ 3 ∈ ℝ C (8 · i 3 − 7) ∈ ℕ E ( 1 _ 3 − 4 · i 7) ∈ ℚ B (1 + i 2) ∈ ℤ D ( − 5 · i 4 − 10) ∈ ℚ Berechne den Wert der Potenz. a) i 45 b) (− i) 30 Es gilt i0 = i 4 = i 8 = i 12 = i 4 · k = 1(k ∈ ℕ). Man zerlegt daher den Exponenten in die Summe des größtmöglichen Vielfachen von 4 und dem entsprechenden Rest 0, 1, 2 oder 3. a) i 45 = i 4·11 +1 = i 44 · i 1 = 1 · i = i b) (− i) 30 = (− 1) 30 · i 30 = i 4 · 7 + 2 = i 28 · i 2 = 1 · (− 1) = − 1 Berechne den Wert der Potenz. a) i 17 b) i 42 c) − i 175 d) (− i) 8109 e) − (− i) 99991 Ordne den Rechnungen die passenden Ergebnisse zu. 1 2 3 4 i 124 + i 12 2 i 45 + 3 i85 − i 41 i 50 − 2 i 86 − 10 i 122 i 211 − (− i 171) A B C D E F 2 − 4 i − 2 i 4 i 11 − 2 Formuliere allgemeine Regeln für die Vereinfachung der Potenzen von i. Tipp: Betrachte die Potenzen von i mit den Exponenten 4 k, 4 k + 1, 4 k + 2und 4 k + 3(k ∈ ℤ 0 +). Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Jede rationale Zahl ist auch eine komplexe Zahl. B Jede komplexe Zahl ist auch eine reelle Zahl. C Die Potenzen der imaginären Einheit sind immer reelle Zahlen. D Der Wert von i40 ist eine natürliche Zahl. E Wird i mit einer ungeraden Hochzahl potenziert, ist das Ergebnis immer − i. 901 AG-R 1.1 M1 902 Muster 903 904 905 906 AG-R 1.1 M1 907 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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