250 Komplexe Zahlen > Die imaginäre Einheit 11 Schreibe mithilfe der imaginären Einheit an. a) 9 _ − 3 b) 9 _ − 36 c) 7 + 9 _ − 2 d) − 5 − 9 _ − 9 e) 1 + 9 _ − 1 Schreibe mit der imaginären Einheit an und vereinfache. a) 9 _ − 16 + 9 _ − 9 + 9 _ − 1 c) 9 _ − 100 − 9 _ − 64 + 9 _ − 49 e) 9 _ 25 + 9 _ − 1 − 9 _ − 144 + 9 _ 4 b) 9 _ − 36 + 9 _ − 4 − 9 _ − 25 d) 9 _ − 121 − 9 _ − 100 − 9 _ − 4 f) 9 _ − 169 + 9 _ 100 − 9 _ 9 − 9 _ − 400 Es wurde mit der Einführung der imaginären Einheit ein neuer Zahlenbereich „erfunden“, in dem man auch die Quadratwurzeln aus negativen Zahlen zulässt. Imaginäre und komplexe Zahlen – Alle Vielfachen der imaginären Einheit b · imit b ∈ ℝ \ {0} heißen imaginäre Zahlen. – Mathematische Ausdrücke der Form a + b · imit a, b ∈ ℝ heißen komplexe Zahlen. Diese Darstellung wird auch kartesische Darstellung genannt. – a wird als Realteil und b als Imaginärteil der komplexen Zahl bezeichnet. – Die Menge der komplexen Zahlen wird mit ℂ bezeichnet. Gib den Realteil und den Imaginärteil der komplexen Zahl an. a) 2 + 3 · i b) − 1,2 + 4 · i c) 0 − i d) 7 − 8,2 · i e) − 2 _ 3 + 0 · i Die Existenz der komplexen Zahlen vorausgesetzt kann man feststellen, dass die Menge der reellen Zahlen ℝ eine Teilmenge der Menge ℂ sein muss, da sich jede reelle Zahl a auch als komplexe Zahl schreiben lässt: a = a + 0 · i Beim Umgang mit Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ist allerdings auch Vorsicht geboten: − 1 = i 2 = i · i = 9 _ − 1 · 9 _ − 1 = 9 _ (− 1) · (− 1) = 9 _ 1 = 1 ⇒ ein Widerspruch Wie man sieht, gilt die Rechenregel 9 _ a · b = 9 _ a · 9 _ bfür negative reelle Zahlen a und b nicht mehr. Kreuze die Zahlenmenge(n) an, in der/in denen die angegebene Zahl liegt. 1 2 3 4 5 ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ A − 31 B 2,3 i C 9 _ 169 D − 7 + i E 9 _ − 0,0196 F 13 897 898 Merke 899 AG-R 1.1 M1 900 Ó Arbeitsblatt Zahlenmengen p4jv8k Rea®tei® z = a + b i Imaginärtei® imaginäre Einheit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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