215 Diskrete Zufallsvariablen > Erwartungswert und Standardabweichung In einem U-Bahn-Wagon werden die Fahrscheine kontrolliert. Die Verkehrsbetriebe wissen aus Erfahrung, dass 10 % aller Personen, die die U-Bahn benutzen, keinen gültigen Fahrschein besitzen. Ein Kontrolleur wählt zufällig vier Personen aus. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Personen ohne gültigen Fahrschein an. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und zeichne ihren Graphen als Streckendiagramm. b) Bestimme die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariable X und stelle sie graphisch dar. c) Bestimme den Erwartungswert E (X) und die Standardabweichung σ. Interpretiere die Werte im Kontext. Bei einem Spiel werden zwei sechsseitige Würfel einmal geworfen. Der Spieler setzt 1 € auf eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zeigt keiner der Würfel die gesetzte Zahl, ist der Einsatz verloren. Andernfalls bekommt der Spieler (zusätzlich zu seinem Einsatz) für jeden Würfel, der die gesetzte Augenzahl zeigt, einen Betrag in der Höhe des Einsatzes. X beschreibt den Gewinn aus der Sicht des Spielers. Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ für X und interpretiere die Ergebnisse im Kontext. Zusammenfassung Zufallsvariable Eine Funktion X: Ω → ℝ heißt diskrete Zufallsvariable (oder Zufallsgröße), wenn die Funktion nur endlich viele (x 1, x 2, …, xn) oder höchstens abzählbar viele (x 1, x 2, x 3, …) Werte annimmt. Wahrscheinlichkeitsfunktion Die Funktion f, die jedem Wert x ∈ {x 1, x 2, …, xn} bzw. x ∈ {x 1, x 2, x 3, …} einer diskreten Zufallsvariable X die Wahrscheinlichkeit P, mit der x eintritt, zuordnet, heißt diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion. Reellen Zahlen, die außerhalb der Wertemenge liegen, wird die Wahrscheinlichkeit 0 zugeordnet. f: {x 1, x 2, …} bzw. {x 1, x 2, …, xn} → [0; 1] mit f(xi) = P(X = xi) Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion F einer diskreten Zufallsvariable X ordnet jedem x ∈ ℝ die Wahrscheinlichkeit zu, mit der X höchstens den Wert x annimmt. F: ℝ → [0; 1] mit F(x) = P(X ≤ x) Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Ist X eine diskrete Zufallsvariable, die die Werte xi (i = 1, 2, 3, 4, …, n) annimmt, und f(x i) = P(X = x i) die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann bezeichnet man den zu erwartenden langfristigen Mittelwert E(X) der Verteilung als Erwartungswert der Zufallsvariable X. Es gilt: E(X) = μ = x 1 · f(x 1) + x 2 · f(x 2) + x 3 · f(x 3) +…+xn · f(x n) Die zu erwartende mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert μ heißt Varianz der Zufallsvariable X. Es gilt: V(X) = σ 2 = (x 1 − μ) 2 · f(x 1) + (x 2 − μ) 2 · f(x 2) + (x 3 − μ) 2 · f(x 3) + … + (x n − μ) 2 · f(x n) V(X) = σ 2 = x 1 2 · f(x 1) + x 2 2 · f(x 2) + x 3 2 · f(x 3) +…+xn 2 · f(x n) − μ 2 (Verschiebungssatz) Die Zahl σ = 9 _ V (X) heißt Standardabweichung der Zufallsvariable X. 782 783 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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