213 Diskrete Zufallsvariablen > Erwartungswert und Standardabweichung Glücksrad 1 Glücksrad 2 Da 1 € Einsatz gezahlt wird, kann die Zufallsvariable X die Werte − 1, 0 und 1 annehmen. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt: Da 1 € Einsatz gezahlt wird, kann die Zufallsvariable Y die Werte − 2, − 1, 0 und 2 annehmen. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt: x − 1 0 1 P(X = x) 0,5 0,25 0,25 y − 2 − 1 0 2 P(Y = y) 0,25 0,25 0,25 0,25 Für den Erwartungswert E (X) gilt: E(X) = − 1 · 0,5 + 0 · 0,25 + 1 · 0,25 = − 0,25 € Für den Erwartungswert E (Y) gilt: E(Y) = − 2 · 0,25 + (− 1) · 0,25 + 0 · 0,25 + + 2 · 0,25 = − 0,25 € Interpretation: Bei beiden Glücksrädern muss der Spieler im langfristigen Mittel mit einem Verlust von durchschnittlich 0,25 € pro Spiel rechnen. Berechnung der Varianz V(X) bzw. der Standardabweichung σ = 9 _ V (X) : V(X) = (− 1 − (− 0,25)) 2 · 0,5 + (0 − (− 0,25)) 2· ·0,25 + (1 − (− 0,25)) 2 · 0,25 = 0,6875 → σ ≈ 0,8292 Berechnung der Varianz V(Y) bzw. der Standardabweichung σ = 9 _ V (Y) V(Y) = (− 2 − (− 0,25)) 2 · 0,25 + (− 1 − (0,25)) 2· ·0,25 + (0 − (− 0,25)) 2 · 0,25 + + (2 − (− 0,25)) 2 · 0,25 = 2,1875 → σ ≈ 1,4790 x f(x) 1 –1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 E(X) σ σ x f(x) 1 2 –1 –2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 E(Y) I σ σ Interpretation: Es sind zwar die Erwartungswerte für beide Zufallsvariablen gleich, die Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann, liegen aber bei Y weiter auseinander als bei X. Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie weit die Werte um den Erwartungswert streuen. Beim zweiten Rad kann man wegen der größeren Streuung bei oftmaligem Spielen daher ab und zu mehr verlieren, andererseits jedoch auch einen höheren Gewinn erzielen. Ein Spieler kann an den Glücksrädern 1 und 2 sein Glück versuchen. Es wird einmal gedreht. Bei Glücksrad 1 ist pro Spiel ein Einsatz von 2,25 € zu bezahlen, bei Glücksrad 2 ein Einsatz von 2 €. Die Zahlen auf den Feldern geben die Auszahlungsbeträge an. X gibt den Gewinn aus der Sicht des Spielers bei Glücksrad 1 an, Y den Gewinn aus der Sicht des Spielers bei Glücksrad 2. Bestimme den Erwartungswert und die Standardabweichung für X und Y und interpretiere die Ergebnisse im Kontext. 1 2 3 Glücksrad 1 1 2 3 Glücksrad 2 776 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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