Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

212 Diskrete Zufallsvariablen > Erwartungswert und Standardabweichung 9 Gegeben ist die graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable Y. Bestimme den Erwartungswert der Zufallsvariable. a) y f(y) 1 2 3 4 5 6 7 8 0,1 0,2 0,3 0 E​(Y) ​= b) y f(y) 1 2 3 4 5 6 7 8 0,1 0,2 0,3 0 E​(Y) ​= Varianz und Standardabweichung Unter der Varianz V​(X) ​versteht man eine Zahl, mit der beschrieben werden kann, wie stark die einzelnen Werte der Zufallsvariable X von ihrem Erwartungswert E​(X) ​abweichen, d.h. wie weit die Werte von X streuen. Es handelt sich dabei um die zu erwartende mittlere quadratische Abweichung von E​(X).​ Varianz und Standardabweichung Ist X eine diskrete Zufallsvariable, die die Werte xi (i = 1, 2, 3, 4, …, n) annimmt, und f(xi) = P​(X = x​ ​i​) ​die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion, dann bezeichnet man die zu erwartende mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert E​(X) ​= μ der Verteilung als Varianz der Zufallsvariable X. Es gilt: V​(X) ​= ​σ ​2 ​= ​(x​ ​ 1 ​− μ) ​ 2 ​· P​(X = x​ ​ 1​) ​+ ​(x​ ​2 ​− μ) ​ 2 ​· P​(X = x​ ​ 2​) ​+ ​(​x ​3 ​− μ) ​ 2 ​· P​(X = x​ ​ 3​)​ + … + ​(x​ ​n ​− μ) ​ 2 ​· P​(X = x​ ​ n​) ​ (σ … sprich: sigma) Die Zahl σ = ​9 _ V​ (X) ​ heißt Standardabweichung der Zufallsvariable X. Die Formel zur Berechnung von V​(X) ​lässt sich durch Anwendung des sogenannten Verschiebungssatzes vereinfachen (Beweis S. 276). V​(X) ​= ​σ ​2 ​= x​ ​ 1 ​ 2 ​· P​(X = x​ ​ 1​) ​+ x​ ​2 ​ 2 ​· P​(X = x​ ​ 2​) ​+ x​ ​3 ​ 2 ​· P​(X = x​ ​ 3​) ​+ … + x​ ​n ​ 2 ​· P​(X = x​ ​ n​) ​− μ​ ​ 2​ Auf einem Jahrmarkt gibt es zwei Stände mit Glücksrädern. Nach einem Einsatz von 1 € darf man den Zeiger einmal drehen und erhält den Betrag als Gewinn ausgezahlt, auf dem der Zeiger stehenbleibt. Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn bei Glücksrad 1 an, die Zufallsvariable Y den bei Glücksrad 2. Glücksrad 1 2 € 1 € 0 € Glücksrad 2 3 € 1 € 0 € – 1 € Bestimme für X und Y jeweils die Wahrscheinlichkeitsverteilung und stelle sie graphisch dar. Ermittle den Erwartungswert sowie die Standardabweichung und interpretiere die Ergebnisse im Kontext. WS-R 3.1 M1 774‌ Merke Ó Technologie Anleitung Varianz und Standardabweichung berechnen 4s64ru Muster 775‌ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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