212 Diskrete Zufallsvariablen > Erwartungswert und Standardabweichung 9 Gegeben ist die graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable Y. Bestimme den Erwartungswert der Zufallsvariable. a) y f(y) 1 2 3 4 5 6 7 8 0,1 0,2 0,3 0 E(Y) = b) y f(y) 1 2 3 4 5 6 7 8 0,1 0,2 0,3 0 E(Y) = Varianz und Standardabweichung Unter der Varianz V(X) versteht man eine Zahl, mit der beschrieben werden kann, wie stark die einzelnen Werte der Zufallsvariable X von ihrem Erwartungswert E(X) abweichen, d.h. wie weit die Werte von X streuen. Es handelt sich dabei um die zu erwartende mittlere quadratische Abweichung von E(X). Varianz und Standardabweichung Ist X eine diskrete Zufallsvariable, die die Werte xi (i = 1, 2, 3, 4, …, n) annimmt, und f(xi) = P(X = x i) die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion, dann bezeichnet man die zu erwartende mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert E(X) = μ der Verteilung als Varianz der Zufallsvariable X. Es gilt: V(X) = σ 2 = (x 1 − μ) 2 · P(X = x 1) + (x 2 − μ) 2 · P(X = x 2) + (x 3 − μ) 2 · P(X = x 3) + … + (x n − μ) 2 · P(X = x n) (σ … sprich: sigma) Die Zahl σ = 9 _ V (X) heißt Standardabweichung der Zufallsvariable X. Die Formel zur Berechnung von V(X) lässt sich durch Anwendung des sogenannten Verschiebungssatzes vereinfachen (Beweis S. 276). V(X) = σ 2 = x 1 2 · P(X = x 1) + x 2 2 · P(X = x 2) + x 3 2 · P(X = x 3) + … + x n 2 · P(X = x n) − μ 2 Auf einem Jahrmarkt gibt es zwei Stände mit Glücksrädern. Nach einem Einsatz von 1 € darf man den Zeiger einmal drehen und erhält den Betrag als Gewinn ausgezahlt, auf dem der Zeiger stehenbleibt. Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn bei Glücksrad 1 an, die Zufallsvariable Y den bei Glücksrad 2. Glücksrad 1 2 € 1 € 0 € Glücksrad 2 3 € 1 € 0 € – 1 € Bestimme für X und Y jeweils die Wahrscheinlichkeitsverteilung und stelle sie graphisch dar. Ermittle den Erwartungswert sowie die Standardabweichung und interpretiere die Ergebnisse im Kontext. WS-R 3.1 M1 774 Merke Ó Technologie Anleitung Varianz und Standardabweichung berechnen 4s64ru Muster 775 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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