210 Diskrete Zufallsvariablen > Erwartungswert und Standardabweichung 9 Aus der Tabelle kann abgelesen werden, dass 35-mal 0 €, 45-mal 0,20 €, 15-mal 0,50 €, 3-mal 1 € und 2-mal 2 € ausbezahlt werden. Bei 100 Spielen ergeben sich für die Auszahlungsbeträge die relativen Häufigkeiten h 100(0) = 35 %, h100(0,20) = 45 %, h100(0,50) = 15 %, h100(1) = 3 % und h100(2) = 2 %. Der mittlere Auszahlungsbetrag aller Spiele ist dann: _ x = 0 · h100(0) + 0,20 · h100(0,20) + 0,50 · h100(0,50) + 1·h100(1) + 2·h100(2) = 0 · 0,35 + 0,20 · 0,45 + 0,50 · 0,15 + 1 · 0,03 + 2 · 0,02 = 0,235 € Pro Spiel werden im Durchschnitt also 0,235 € ausbezahlt. Rechnet man davon noch 0,50 € Einsatz pro Spiel ab, ergibt sich aus der Sicht des Spielers ein mittlerer Verlust von 0,265 € (0,235 € − 0,50 € = − 0,265 €). Wird die Anzahl n der Versuche immer größer, nähern sich die relativen Häufigkeiten hn für die Auszahlung eines bestimmten Betrags a 1, a 2, …, ak den Wahrscheinlichkeiten an, mit denen die Beträge auftreten (vgl. Lösungswege 6). D.h. h n(a 1) ≈ P(X = a 1), h n(a 2) ≈ P(X = a 2), …, hn(a k) ≈ P(X = a k). Statt _ xschreibt man dann μ oder E(X). Man bezeichnet diesen Wert als Erwartungswert der Zufallsvariable X. Erwartungswert Ist X eine diskrete Zufallsvariable, die die Werte xi (i = 1, 2, 3, 4, …, n) annimmt, und f(x i) = P(X = x i) die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann bezeichnet man den zu erwartenden langfristigen Mittelwert E(X) der Verteilung als Erwartungswert der Zufallsvariable X. Es gilt: E(X) = μ = x1 · f(x 1) + x 2 · f(x 2) + x 3 · f(x 3) +…+xn · f(x n) = x 1 · P(X = x 1) + x 2 · P(X = x 2) + x 3 · P(X = x 3) +…+xn · P(X = x n) (μ … sprich: mü) Ein sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Mit 0,50 € Einsatz erhält man den Betrag als Gewinn ausbezahlt, der der gewürfelten Augenzahl entspricht (X = Gewinn des Spielers in Euro). Bestimme den Erwartungswert von X, d.h. die Gewinnerwartung für den Spieler, wenn dieser sehr oft spielt. Jede Augenzahl tritt mit der Wahrscheinlichkeit 1 _ 6 auf. X nimmt (unter Berücksichtigung des Einsatzes) die Werte 0,5 €; 1,5 €; 2,5 €; 3,5 €; 4,5 € bzw. 5,5 € an. Es gilt: E(X) = μ = 0 ,5 · P(X = 0,5) + 1,5 · P(X = 1,5) + 2,5 · P(X = 2,5) + 3,5 · P(X = 3,5) + + 4,5 · P(X = 4,5) + 5,5 · P(X = 5,5) = 1 _ 6 · (0,5 + 1,5 + … + 5,5) = 3 € Ein Spielautomat, bei dem pro Spiel 1 € eingesetzt werden muss, zahlt die in der Tabelle angegebenen Geldbeträge mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten aus. a) Berechne den Erwartungswert für die Zufallsvariable X = „Auszahlung in Euro“. b) Berechne den Erwartungswert für die Zufallsvariable Y = „Gewinn (= Differenz zwischen Auszahlungsbetrag und Einsatz) in Euro“. Merke Muster 765 766 Auszahlung in Euro Wahrscheinlichkeit, mit der die Auszahlung erfolgt 0 0,40 0,40 0,30 0,80 0,20 2 0,06 4 0,04 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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