207 Diskrete Zufallsvariablen > Verteilungsfunktion Eine Münze wird dreimal geworfen. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der dabei auftretenden „Zahl“-Würfe an. Gib die Verteilungsfunktion F von X an und zeichne ihren Graphen. Mit K für „Kopf“ und Z für „Zahl“ stellt man zuerst den Grundraum Ω auf: Ω = {KKK, ZKK, KZK, KKZ, ZZK, ZKZ, KZZ, ZZZ}. Die Zufallsvariable X kann die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Da „Kopf“ bzw. „Zahl“ jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 auftreten, gilt für die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X: P(X = 0) = 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,53 = 0,125 P(X = 2) = 3 · 0,53 = 0,375 P(X = 1) = 3 · 0,53 = 0,375 P(X = 3) = 0,53 = 0,125 Für die Verteilungsfunktion F können dann die entsprechenden Teilsummen berechnet werden: F(0) = P(X ≤ 0) = P(X = 0) = 0,125 F(2) = P(X ≤ 2) = 0,125 + 0,375 + 0,375 = 0,875 F(1) = P(X ≤ 1) = 0,125 + 0,375 = 0,5 F(3) = P(X ≤ 3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1 Der Graph von F ist eine Treppenfunktion. Der größte Funktionswert der Verteilungsfunktion F entspricht der Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion f und ist daher 1. Die Sprunghöhen von F sind genau die Funktionswerte von f an den Sprungstellen, weil F durch Summieren der Funktionswerte von f entsteht. Eine Münze wird zweimal geworfen. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der dabei auftretenden „Kopf“-Würfe an. Gib die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariable X an und zeichne ihren Graphen. In einem Radio werden drei Komponenten verbaut, wobei jede der drei Komponenten unabhängig von den anderen mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % defekt sein kann. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der defekten Komponenten an, die im Radio verbaut werden. a) Gib die Werte an, die die Zufallsvariable X annehmen kann. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung f und zeichne ihren Graphen als Streckendiagramm. c) Gib die Verteilungsfunktion F an und zeichne ihren Graphen. Es wird folgendes Spiel durchgeführt: man würfelt mit einem sechsseitigen fairen Würfel einmal. Erscheint die Augenzahl 1, muss die Spielerin bzw. der Spieler 1 € bezahlen. Bei der Augenzahl 2 erhält man keinen Gewinn. Erscheinen die Augenzahlen 3, 4 oder 5, gewinnt man 1 € und bei der Augenzahl 6 erhält man 3 €. Die Zufallsvariable X beschreibt die Höhe des Gewinns aus der Sicht der Spielerin bzw. des Spielers. a) Welche Werte kann die Zufallsvariable annehmen? b) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. c) Bestimme die Verteilungsfunktion von X und stelle sie graphisch dar. d) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X graphisch dar. e) Berechne die Wahrscheinlichkeit P (X > 0) und interpretiere das Ergebnis im Kontext. Muster 756 x F(x) F 1 2 3 4 5 6 7 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 757 758 759 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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