206 9.2 Verteilungsfunktion Lernziel: º Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable angeben und graphisch darstellen können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: WS-R 3.1 [ …] (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung […] verständig deuten und einsetzen können Oft interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert einer diskreten Zufallsvariablen X eine bestimmte Zahl a nicht überschreitet, d.h. höchstens den Wert a annimmt. Eine Spielerin einer Handballmannschaft wird verletzt. Bei dieser Verletzung weiß der Trainer aus Erfahrung, dass die Zeit, bis die Spielerin wieder eingesetzt werden kann, mindestens fünf und höchstens sieben Tage beträgt. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Tage a bis zur Genesung an. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X ist in der folgenden Tabelle dargestellt. a < 5 5 6 7 > 7 P(X = a) 0 0,25 0,55 0,2 0 Der Trainer möchte nun wissen, ob die Spielerin für ein wichtiges Spiel in 6 Tagen wieder auf dem Spielfeld stehen kann, d.h. er interessiert sich für die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 6). Nach der Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse gilt: P(X ≤ 6) = P(X < 5) + P(X = 5) + P(X = 6) = 0 + 0,25 + 0,55 = 0,8 = 80 % Nach längstens sechs Tagen ist die Spielerin mit 80 %-iger Wahrscheinlichkeit wieder fit. Auf die gleiche Weise kann man die Wahrscheinlichkeiten für X ≤ 5, X ≤ 7 berechnen. Dadurch wird eine Funktion festgelegt, die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Zufallsvariable höchstens eine bestimmte natürliche Zahl erreicht. Diese Funktion wird als (kumulative) Verteilungsfunktion bezeichnet. P(X ≤ 5) = P(X < 5) + P(X = 5) = 0 + 0,25 = 0,25 = 25 % P(X ≤ 7) = P(X < 5) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 0 + 0,25 + 0,55 + 0,2 = 1 = 100 % Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion F einer diskreten Zufallsvariablen X ordnet jedem x ∈ ℝ die Wahrscheinlichkeit zu, mit der X höchstens den Wert x annimmt. F: ℝ → [0; 1] mit F(x) = P(X ≤ x) In der Tabelle ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X gegeben. x 0 1 2 3 4 5 6 > 6 P(X = x) 0,02 0,20 0,36 0,21 0,11 0,08 0,02 0 a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsvariable einen Wert unter 3 an? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsvariable mindestens den Wert 4 an? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X mindestens den Wert 1 und höchstens den Wert 4 an? Kompetenzen Merke 755 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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