203 Diskrete Zufallsvariablen > Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung a) Ein sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen (Zufallsvariable X = „Augenzahl“). Gib die Elementarereignisse für X = 5an. b) Ein Würfel wird zweimal geworfen (Zufallsvariable X = „Der Betrag der Differenz der Augenzahlen“). Gib die Elementarereignisse für X = 3an. c) Eine Münze wird zweimal geworfen (Zufallsvariable X = „Anzahl der Kopf-Würfe“). Gib die Elementarereignisse für X = 1an. d) Ein Schütze schießt viermal auf ein Ziel (Zufallsvariable X = „Anzahl der Treffer“). Gib die Elementarereignisse für X = 2an. Welche Werte kann die diskrete Zufallsvariable annehmen? Gib die passenden Elementarereignisse bzw. Interpretationen an. a) Aus einer Urne mit drei weißen und zwei schwarzen Kugeln wird dreimal mit Zurücklegen gezogen. Zufallsvariable X = „Anzahl der schwarzen Kugeln“. 1) Gib die Elementarereignisse für X = 2an. 2) Interpretiere den Ausdruck X < 2. b) Fünf Autofahrer werden von der Polizei zufällig herausgewunken und kontrolliert. Zufallsvariable X = „Anzahl der nicht angeschnallten Fahrzeuglenker“. 1) Gib die Elementarereignisse für X = 3an. 2) Interpretiere den Ausdruck X ≥ 4. c) Ein Multiple-Choice-Test besteht aus zehn Fragen. Von den Antwortmöglichkeiten ist nur jeweils eine richtig. Ein Kandidat / eine Kandidatin kreuzt jeweils eine Antwort zufällig an. Zufallsvariable X = „Anzahl der richtigen Antworten“. 1) Gib die Elementarereignisse für X = 9an. 2) Interpretiere den Ausdruck 4 < X ≤ 7. Wahrscheinlichkeitsverteilung Man kann den Werten, die eine Zufallsvariable annehmen kann, die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Betrachtet man das Werfen von zwei sechsseitigen Würfeln, erkennt man, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens jedes einzelnen Elementarereignisses 1 _ 36 ist. (Es handelt sich laut Definition um ein Laplace-Experiment.) Für die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Zufallsvariable X = „Augensumme“ die jeweiligen Werte annimmt, gilt: (siehe Tabelle Seite 202) Augensumme X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Wahrscheinlichkeit für X 1 _ 36 2 _ 36 3 _ 36 4 _ 36 5 _ 36 6 _ 36 5 _ 36 4 _ 36 3 _ 36 2 _ 36 1 _ 36 Es entsteht eine Wahrscheinlichkeitsverteilung f, die jedem Wert der Zufallsvariable X eine Wahrscheinlichkeit (einen Wert des Intervalls [0; 1]) zuordnet. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Sei X ein diskrete Zufallsvariable mit den endlich vielen Werten {x 1, x 2, …, xn} bzw. den abzählbar vielen Elementen {x 1, x 2, x 3, …}. Die Funktion f, die jedem Wert x ∈ {x 1, x 2, …, xn} bzw. x ∈ {x 1, x 2, x 3, …} die Wahrscheinlichkeit P, mit der x eintritt, zuordnet, heißt diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Reellen Zahlen, die außerhalb der Wertemenge liegen, wird die Wahrscheinlichkeit 0 zugeordnet. f: { x 1, x 2, …} bzw. {x 1, x 2, …, xn} → [0; 1] mit f(xi) = P(X = xi) Man kann nun schreiben: f(2) = P(X = 2) = 1 _ 36, f(3) = P(X = 3) = 2 _ 36 = 1 _ 18, usw. 743 744 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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