202 Diskrete Zufallsvariablen > Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung 9 Elementarereignisse Augensumme (1, 1) 2 (1, 2), (2, 1) 3 (1, 3), (2, 2), (3, 1) 4 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) 5 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) 6 (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) 7 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) 8 (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) 9 (4, 6), (5, 5), (6, 4) 10 (5, 6), (6, 5) 11 (6, 6) 12 Man kann nun eine Funktion definieren, deren Definitionsmenge der Grundraum Ω ist und deren Wertemenge aus endlich oder höchstens abzählbar vielen Elementen aus ℝ besteht. Diese Funktion wird diskrete Zufallsvariable (auch Zufallsgröße) genannt. Zum Beispiel wird dem Elementarereignis (1, 1) durch die diskrete Zufallsvariable „Augensumme“ der Wert 2 zugeordnet, den Elementarereignissen (1, 2) und (2, 1) der Wert 3 usw. Die Bezeichnung einer Zufallsvariable erfolgt durch Großbuchstaben X, Y, Z, … Nimmt eine Zufallsvariable X bei einem Zufallsexperiment einen bestimmten Wert a an, so schreibt man X = a. In diesem Beispiel nimmt die Zufallsvariable X = „Augensumme“die Werte X = 2, X = 3, X = 4, …, X = 11und X = 12an. Zufallsvariable Eine Funktion X: Ω → ℝ vom Grundraum Ω eines Zufallsexperiments in die Menge der reellen Zahlen wird als diskrete Zufallsvariable (oder Zufallsgröße) bezeichnet, wenn die Funktion nur endlich viele (x 1, x 2, …, xn) oder höchstens abzählbar viele (x 1, x 2, x 3, …) Werte annimmt. Die Bezeichnung „diskret“ leitet sich vom lateinischen discernere (trennen, unterscheiden) ab und soll darauf verweisen, dass die Werte sozusagen „voneinander getrennt“ sind. Beachte auch, dass es sich bei einer Zufallsvariable um keine Variable im eigentlichen Sinn handelt, sondern um eine Funktion. So wäre die vom russischen Mathematiker und Wahrscheinlichkeitstheoretiker Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (1903–1987) verwendete Bezeichnung „Zufallsgröße“ weniger irreführend. Eine Münze (Kopf K, Zahl Z) wird dreimal geworfen. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der dabei auftretenden „Kopf“-Würfe an. Welche Werte kann X annehmen? Gib alle passenden Elementarereignisse an. Für den Grundraum gilt: Ω = {(ZZK), (ZKZ), (KZZ), (ZKK), (KZK), (KKZ), (KKK), (ZZZ)} Dem Elementarereignis (ZZZ) wird der Wert 0 zugeordnet, den Elementarereignissen (ZZK), (ZKZ), (KZZ) wird der Wert 1 zugeordnet, den Elementarereignissen (ZKK), (KZK), (KKZ) der Wert 2 sowie dem Elementarereignis (KKK) der Wert 3. Die Zufallsvariable X kann die Werte X = 0, X = 1, X = 2bzw. X = 3annehmen. Merke Muster 742 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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