199 Themenbereich: Lineare und quadratische Gleichungen Aus einem rechteckigen Holzbrett (l = 120 cm; b = 100 cm) wird durch Ausschneiden eines Rechtecks ein Bilderrahmen mit der Breite x cm erzeugt. Der Flächeninhalt des Rahmens soll ein Drittel der Fläche des rechteckigen Holzbretts betragen. a) Stelle den Sachverhalt anhand einer Skizze dar und zeige, dass das Problem auf die Gleichung x2 − 110 x + 1 000 = 0 führt (Transfer). b) Löse die Gleichung und interpretiere das Ergebnis (Reproduktion und Reflexion). c) Leite die kleine Lösungsformel für quadratische Gleichungen mittels quadratischen Ergänzens her (Transfer). d) Zeige den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung und den Graphen entsprechender quadratischer Funktionen anhand geeigneter Skizzen (Reflexion). Themenbereich: Statistik Das Säulendiagramm und die Daten in der Tabelle zeigen die Anzahl der Kfz-Diebstähle in Österreich von 2015 bis 2022. Jahr Kfz-Diebstähle Jahr Kfz-Diebstähle 2015 3 326 2019 2 194 2016 2 994 2020 1 454 2017 2 658 2021 1 168 2018 2 224 2022 1 530 a) Vergleiche die in der Tabelle angegebenen Daten mit dem Säulendiagramm und beschreibe die Vor- und Nachteile der jeweiligen Darstellungsform (Transfer, Reflexion). b) Beschrifte das Boxplot-Diagramm und erläutere die Bedeutung des 2. Ouartils im Kontext (Reproduktion). c) Gib an, welche statistische Kennzahl am geeignetsten ist, um die Kfz-Diebstelle im Zeitraum 2015 bis 2022 zu beschreiben und begründe deine Meinung (Reflexion). d) Ermittle das Ergebnis von 2 224 − 2 994 _ 2 994 und interpretiere den Wert im Kontext (Reproduktion, Transfer). Themenbereich: Algebraische Gleichungen und komplexe Zahlen Gegeben ist die Gleichung x3 − x 2 − x − 15 = 0(G = ℂ), welche mindestens eine Lösung besitzt, die in der Menge der ganzen Zahlen liegt. a) Ermittle alle Lösungen der Gleichung ohne Technologieeinsatz und erläutere deine Vorgangsweise (Reproduktion). b) Zeichne alle Lösungen von a) in die Gauß‘sche Zahlenebene ein. Erkläre anhand dieser Aufgabe die Fachbegriffe „komplexe Zahl“, „imaginäre Einheit“, „konjugiert-komplexe Zahl“, „Gaußsche Zahlenebene“ und „Polardarstellung“ (Reproduktion). c) Erläutere die Bedeutung des Fundamentalsatzes der Algebra in Bezug auf Gleichungen höheren Grades mit reellen Koeffizienten in ℂ (Transfer). d) Gegeben ist der Graph der Polynomfunktion f mit f(x) = x 3 − x 2 − x − 15. Stelle einen Zusammenhang zwischen den Lösungen der Gleichung aus a) und der graphischen Darstellung der Funktion dar (Transfer). e) Der Graph einer Gleichung dritten Grades besitzt nur zwei Nullstellen. Dabei wird die x-Achse einmal geschnitten und einmal berührt. Erläutere den Zusammenhang zwischen diesem Sachverhalt und den Lösungen der Gleichung (Reflexion). M 738 M 739 Kfz-Diebstähle in Österreich Kfz-Diebstähle 0 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 1 000 2 000 3 000 3 500 500 1 500 2 500 1000 2000 3000 1500 2500 M 740 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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