FA-R 1.4 FA-R 1.4 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 FA-R 1.4 FA-R 1.4 194 8 Weg zur Matura Anwendungen der Differentialrechnung > Teil-2-Aufgaben Teil-2-Aufgaben Fließgeschwindigkeit In einem Rohr mit kreisförmigem Querschnitt fließt eine Flüssigkeit. Die Fließgeschwindigkeit v (in m/s) ändert sich mit dem Abstand zum Querschnittsmittelpunkt des Rohres. Es gilt: v(x) = 5(1 − x 2 _ R 2) x … (Radial-)Abstand vom Querschnittsmittelpunkt (in m) R … (Innen-)Radius des Rohres (in m) a) 1) Wähle eine für den Kontext geeignete Definitionsmenge für x und begründe deine Auswahl. 2) Bestimme, in welchem Abstand vom Querschnittsmittelpunkt die größte Fließgeschwindigkeit herrscht und berechne den maximalen Wert. b) Ein Rohr hat den (Innen-)Radius 30 cm. 1) Berechne den Differenzenquotienten von v im Intervall [0 cm; 15 cm] und interpretiere den erhaltenen Wert. c) 1) Es gilt die Annahme v‘(x) = cmit c ∈ ℝ, c < 0und konstant. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die Fließgeschwindigkeit v ändert sich nicht mit dem Abstand x. B Die Fließgeschwindigkeit v nimmt mit zunehmendem Abstand x zu. C Die Änderung der Fließgeschwindigkeit ist konstant. D Der Differenzenquotient von v ist in jedem Intervall gleich. E v ist eine lineare Funktion. Ökonomische Funktionen Die Gesamtkosten K in Geldeinheiten (GE) für die Herstellung von x Mengeneinheiten (ME) eines Produkts lassen sich mittels K (x) = 1 _ 80 x 3 + 30 x + 2 000modellieren. Es können nicht mehr als 60 ME in einer bestimmten Zeit erzeugt werden. a) 1) Bestimme das Betriebsoptimum. 2) Für das Betriebsoptimum gilt, dass die minimalen Stückkosten gleich den Grenzkosten sind. Weise diesen Zusammenhang mit der gegebenen Kostenfunktion K nach. b) Für die Ermittlung des Erlöses (Umsatzes) beim Verkauf von x ME einer Ware gibt der Betrieb die Funktion E mit E (x) = 80 xan. 1) Deute den im Funktionsterm vorkommenden Wert 80 im Sachzusammenhang. 2) Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Der Erlös E(x) und die verkaufte Menge x sind zueinander direkt proportional. B Verdoppelt sich die Anzahl der verkauften Mengeneinheiten, wird der Umsatz 80-mal so groß. C Eine Steigerung der verkauften Menge um 10 % erhöht den Umsatz um 110 %. D Die Funktion E ist linear. E Wird um eine Mengeneinheit mehr verkauft, verachtfacht sich der Erlös. M2 727 K M2 728 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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