191 Anwendungen der Differentialrechnung > Innermathematische Anwendung Das Näherungsverfahren von Newton Ist x 0 ein Näherungswert für die Lösung der Gleichung f(x) = 0, so erhält man (unter bestimmten Voraussetzungen) durch folgende Iterationsformel immer bessere Näherungswerte für die Lösung: x n+1 = x n − f(x n) _ f‘(x n) für n ∈ ℕ. Bemerkung: f(x)muss für alle Stellen xn differenzierbar sein und es muss gelten: f‘(xn) ≠ 0. Bestimme die reelle Lösung der Gleichung x 3 − 7 = 0 auf fünf Dezimalstellen genau. Als erster Näherungswert für die Lösung der Gleichung wird x 0 = 2 gewählt. Aus obiger Formel ergibt sich mit f(x) = x 3 − 7 und f‘(x) = 3 x2 für den nächsten Näherungswert x 1: x 1 = x 0 − f(x 0) _ f‘(x 0) = 2 − 1 _ 12 = 1,916666… Ebenso ergibt sich aus x 1 der nächste Näherungswert: x 2 = x 1 − f(x 1) _ f‘(x 1) = 1,9129384… ⇒ x 3 = x 2 − f(x 2) _ f‘(x 2) = 1,9129311 Da sich die fünfte Kommastelle nicht mehr verändert hat, erhält man bereits nach drei Schritten als Näherungslösung der Gleichung x ≈ 1,91293. Bestimme mit Hilfe des Newton-Verfahrens die einzige relle Lösung der Gleichung auf drei Dezimalstellen genau. a) x 3 − 2 x 2 + 2 x − 3 = 0 c) x 3 + 3 x2 + 5 = 0 e) x 3 − 3 = 0 b) − 2 x 3 + 2 x − 3 = 0 d) x 3 + 2 x2 − 3 = 0 f) x 3 + 2 = 0 Bestimme eine Lösung der Gleichung auf drei Dezimalstellen genau. a) cos(x) = x 3 b) e x = 3 c) sin(x) = x 2 d) ln(x) = 3 Versuche die Gleichung x3 + 2 x2 − 2 = 0mit Hilfe des Newton-Verfahrens zu lösen. a) Beginne mit dem Startwert x 0 = 1. b) Begründe, warum das Verfahren mit dem Startwert x 0 = 0nicht funktioniert. Bestimme mit Hilfe des Newton-Verfahrens die Nullstelle der Funktion f mit f(x) = x 5 + x 4 − 2 x 3 + x 2 + x + 10auf vier Dezimalstellen genau. a) Beginne mit dem Startwert x 0 = − 2. b) Begründe graphisch und rechnerisch, warum der Startwert x 0 = 1ungeeignet ist. Jemand möchte die Gleichung x2 − 5 = 0mit Hilfe des Newton-Verfahrens lösen. Bei welchem Startwert würde das Newton-Verfahren nicht funktionieren? Begründe deine Antwort. a) Zeige, dass man sich mit Hilfe der Rekursionsformel x n+1 = 1 _ 2(x n + 2 _ x n )dem Wert für 9 _ 2 auf vier Stellen genau annähern kann. Wähle als Startwert x 0 = 1. b) Zeige mit Hilfe des Newton-Verfahrens, dass man sich dem Wert von 9 _ afür a > 0mit Hilfe folgender Rekursionsformel annähern kann: x n+1 = 1 _ 2(x n + a _ x n ). c) Ermittle eine Rekursionsformel, mit der man sich dem Wert von 3 9 _ aannähern kann. Tipp: Die Funktion f(x) = x 2 − abesitzt als einzige positive Nullstelle den Wert x = 9 _ a . Merke Muster 714 715 716 717 718 719 720 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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