190 8.4 Innermathematische Anwendung Lernziel: º Das Newton’sche Näherungsverfahren anwenden können Im Folgenden wird eine mathematische Methode beschrieben, mit deren Hilfe man die Lösung einer Gleichung näherungsweise berechnen kann. Da Taschenrechner oder Computer im Grunde genommen nur Grundrechnungsarten durchführen können, ermöglicht erst ein derartiges Näherungsverfahren komplizierte Berechnungen. Dieser Abschnitt liefert also auch Einblicke in die Funktionsweise von Taschenrechnern und Algebraprogrammen. Das Newton’sche Näherungsverfahren Lineare und quadratische Gleichungen lassen sich durch Äquivalenzumformungen und Lösungsformeln exakt lösen. In der mathematischen Praxis jedoch sind die allermeisten Gleichungen viel komplizierter und oft nicht exakt lösbar. Das Näherungsverfahren von Newton liefert (unter bestimmten Voraussetzungen) beliebig genaue Lösungen einer Gleichung. D.h. man kann zwar nicht die exakte Gleichungslösung bestimmen, aber man kann je nach Belieben die Lösung auf z.B. 4, 10 oder 100 Dezimalstellen genau berechnen. Das Näherungsverfahren beruht darauf, dass jede Lösung der Gleichung f(x) = 0auch als Nullstelle der Funktion f interpretiert werden kann. Der Nullstelle kann man sich auf folgende Weise annähern: Man bestimmt einen Ausgangwert x 0 in der Nähe der Nullstelle xN. Diese Stelle darf keine Extremstelle von f sein. Zeichnet man nun im dazugehörigen Punkt P 0 = (x0 | f(x0)) die Tangente von f ein, so schneidet die Tangente an der Stelle x 1 die x‑Achse. x 1 liegt näher an der gesuchten Nullstelle x N und ist daher ein besserer Näherungswert für die Nullstelle x N als der Ausgangswert x0. Führt man dieses Verfahren mit x 1 als Ausgangswert durch, so erhält man x 2, einen noch besseren Näherungswert für x Nals x1. Durch weitere Wiederholungen kann man die Nullstelle x N beliebig genau annähern. Aus oberer Abbildung kann man folgenden Zusammenhang für die Steigung k 0der Tangente in P0ablesen: k 0 = f‘(x 0) = f(x 0) _ x 0 − x 1 . Für den ersten Näherungswert erhält man durch Umformung: x1 = x 0 − f(x 0) _ f‘(x 0) . Analog erhält man für den zweiten Näherungswert: x2 = x 1 − f(x 1) _ f‘(x 1) . Durch Wiederholung (Iteration) erhält man immer bessere Näherungswerte für x N. Kompetenzen x f(x) 0 f xN x1 Tangente in P1 x2 f(x1) P1 = (x1 1 f(x1)) x f(x) 0 P0 = (x0 1 f(x0)) f(x0) x0 x1 xN x 0 – x1 f Tangente in P0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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