189 8.3 Extremwertaufgaben Lernziele: º Extremwertaufgaben unter Verwendung der Ketten-, Produktregel oder Quotientenregel lösen können º Zielfunktionen für Optimierungsaufgaben aufstellen können (AN-L 2.3) Im Folgenden werden komplexere Extremwertaufgaben behandelt, deren Zielfunktionen mithilfe der Ketten-, Produkt- bzw. Ouotientenregel differenziert werden müssen. Einem Kreis mit dem Radius r soll ein gleichschenkliges Dreieck so umschrieben werden, dass sein Flächeninhalt möglichst klein wird. Bestimme die Seitenlängen dieses Dreiecks. Die Basis des Dreiecks wird mit 2 x, dessen Höhe mit y bezeichnet. Die Schenkellänge des Dreiecks ist s. Für die Hauptbedingung (HB) gilt: A = 2 x · y _ 2 = x · y. Da die Dreiecke BC H1und CMH2 ähnlich sind, kommt als Nebenbedingung (NB) der Strahlensatz zur Anwendung: s : x = (y − r) : r Für s gilt: s = 9 _x 2 + y 2 ⇒ 9 _x 2 + y 2 :x=(y − r) : r ⇒ (x 2 + y 2) : x 2 = (y − r) 2 : r 2 r 2 (x 2 + y 2) = x 2 (y − r) 2 ⇒ r 2 x 2 + r 2 y 2 = x 2 (y − r) 2 ⇒ r 2 y 2 = x 2[(y − r) 2 − r 2] ⇒ x 2 = r 2 y 2 _ y 2 − 2 r y Nach dem Kürzen der NB ergibt sich x 2 = r 2 y _ y − 2 r. Die HB wird quadriert und für x 2der Term der NB eingesetzt: A2(y) = f(y) = r 2 y 3 _ y − 2 r. Anwenden der Ouotientenregel: f‘(y) = 3 r 2 y 2(y − 2 r) − r 2 y 3 _ (y − 2 r) 2 = 2 r 2 y 3 − 6 r 3 y 2 _ (y − 2 r) 2 f‘(y) = 0 ⇒ 2 r 2 y 2(y − 3 r) = 0 ⇒ y = 3 r x 2 = r 2 y _ y − 2 r ⇒ x 2 = 3 r 3 _ r = 3 r 2 ⇒ x 9 _ 3 Da f‘‘(3 r) > 0(Technologie), handelt es sich um ein lokales Minimum. Für s gilt: s = 9 _x 2 + y 2 = 9 _3 r 2 + 9 r2 = 9 _ 12 r 2 = 2 r 9 _ 3 Das Dreieck ist gleichseitig mit der Seitenlänge 2 r 9 _ 3 . Gegeben ist ein Halbkreis mit dem Radius r. Diesem Halbkreis wird ein gleichschenkliges Dreieck so umschrieben, dass sein Flächeninhalt möglichst klein wird. Bestimme die Seitenlängen dieses Dreiecks. Ein Sektglas hat die Form eines geraden Drehkegels, dessen Seitenlinie s Zentimeter lang ist. Bestimme den Öffnungswinkel 2 φ dieses Drehkegels so, dass der Rauminhalt maximal wird. Aus drei b Zentimeter breiten Brettern soll eine Wasserrinne mit einer trapezförmigen Ouerschnittsfläche so hergestellt werden, dass die Ouerschnittsfläche der Rinne möglichst groß wird. Bestimme das Maß des Winkels α, unter dem die Seitenwände der Rinne dabei gegen die Grundfläche geneigt sein müssen. Bestimme die Seitenlängen des Rechtecks, das bei gegebenem Flächeninhalt A den kleinsten Umfang besitzt. Kompetenzen Muster 709 x x y C A B M H 2 H1 s s r r r x y r 710 s φ h r 711 b b b α x s 712 Ó Arbeitsblatt Extremwertaufgaben mit besonderen Ableitungsregeln ak2fi4 713 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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