188 Anwendungen der Differentialrechnung > Anwendungen aus Naturwissenschaft und Medizin K(t) = 3 _ 40 t 3 − 9 _ 10 t 2 + 5 _ 3 t + 6modelliert die Konzentration eines Medikaments (in ml/l) im Blut eines Patienten nach t Stunden. Das Medikament wurde zum Zeitpunkt t = 0verabreicht. a) Bestimme eine geeignete Definitionsmenge für K. b) Bestimme, nach wieviel Stunden die Abbaugeschwindigkeit am größten ist. c) Beschreibe den Zustand der Medikamentenkonzentration nach einer halben Stunde mit Hilfe der Differentialrechnung. Verwende dabei die Werte von K (t), K‘(t) und K‘‘(t). Wenn Wasser in einem geschlossenen System verdampft, stellt sich nach einiger Zeit ein Gleichgewicht zwischen Wasserdampf und flüssigem Wasser ein. Der Dampfdruck p in Bar (bar) gibt den Druck des Wasserdampfs in diesem Zustand an. Er hängt von der Temperatur T in Kelvin (K) ab und kann durch folgende Funktion näherungsweise beschrieben werden: p(T) = 2,52 · 106 · e −5418 _ T . a) Zeichne den Graphen von p (T) im Intervall [0; 300]. b) Bestimme p‘(290) und interpretiere den erhaltenen Wert. c) Interpretiere den Wert von p ‘‘(290). d) Bestimme die Vorzeichen von p ‘(T) und p‘‘(T). Was sagen die Vorzeichen über p (T) aus? Mit Hilfe eines Kondensators kann man in einem Gleichstromkreis elektrische Ladungen speichern. Während des Aufladevorganges gilt für die elektrische Ladung Q in Coulomb (C) zum Zeitpunkt t ≥ 0in Sekunden (s): Q (t) = 1,2 · 10−3 · (1 − e − t _ 5). Die Stromstärke l(t) wird in Ampere (A) gemessen und gibt die Änderungsgeschwindigkeit der elektrischen Ladung an. a) Berechne l(t) und zeichne den Graphen der Stromstärke. b) Interpretiere die Bedeutung von Q‘‘(t) im Kontext. c) Interpretiere die Vorzeichen von Q(t), Q‘(t) und Q‘‘(t). d) Kreuze die für den Kontext zutreffende(n) Aussage(n) an. Hängt eine Masse an einer Spiralfeder, so spricht man von einem Federpendel. Stößt man dieses an, so schwingt es im Idealfall harmonisch senkrecht auf und ab. Die Auslenkung s eines Federpendels von der Ruhelage in Meter kann mit folgendem Zusammenhang beschrieben werden: s(t) = 0,2 · sin(ω · t) mit ω = 2 π f. t ist die Zeit in Sekunden (s) und f die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde (Frequenz). a) Bestimme die Funktionsgleichung eines Pendels, das 3-mal pro Sekunde schwingt. b) Berechne die maximale Auslenkung des Pendels von der Ruhelage. c) Zeichne den Graphen von s(t) und s‘(t) für die ersten zwei Sekunden in ein Koordinatensystem und interpretiere den Verlauf der beiden Graphen im Kontext. d) Bestimme s‘‘(1) und interpretiere den erhaltenen Wert. Beschleunigt ein Körper mit der Masse m (in kg) aus der Ruhelage mit der Beschleunigung a (in m/s2) so besitzt er nach t Sekunden die Energie E (t) = m a 2 _ 2 t 2 in Joule (J). Die momentane Veränderung der Energie mit der Zeit nennt man Leistung P. Sie wird in Watt (W) angegeben. a) Bestimme eine Formel für P und beschreibe die Abhängigkeit der Leistung von m, a und t. b) Ein Körper mit 5 kg Masse beschleunigt mit einer konstanten Beschleunigung von 10 m/s2. Bestimme E‘(3) und E‘‘(3) und interpretiere die erhaltenen Werte. c) Ein Körper beschleunigt konstant im Zeitintervall t ∈ [0; 4]. Berechne die durchschnittliche Leistung in diesem Intervall und vergleiche sie mit der momentanen Leistung in der Mitte des Intervalls. 704 705 706 A Q‘(t) = I(t) B I‘(t) = Q‘‘(t) C Q(t) > 0 D Q(0) = 0 E Q(− 1) ist nicht definiert. Ó Arbeitsblatt Naturwissenschaftliche Anwendungen 3n7324 707 708 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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