187 Anwendungen der Differentialrechnung > Anwendungen aus Naturwissenschaft und Medizin Beispiel: p″(500) = 0,5 Pa/m2 Interpretation: In 500 m Höhe ändert sich die Änderungsgeschwindigkeit des Druckes um 0,5 Pa/m pro Meter. In 500 m Höhe nimmt die Änderungsgeschwindigkeit des Druckes pro Meter um 0,5 Pa/m zu. Würde p″(h) konstant 0,5 Pa/m2 sein, so würde für p ‘(500) = − 3 Pa/mFolgendes gelten: p‘(500) = − 3 Pa/m, p‘(501) = − 2,5 Pa/m; p‘(502) = − 2 Pa/m; p‘(504) = − 1 Pa/mu.s.w. 1) Interpretiere die Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung der angegebenen Funktion. 2) Bestimme die passenden Einheiten von a, b, c, d und e. a) n(t) beschreibt die Bakterienanzahl nach t Stunden. n‘(t) = 4; n(4) = 500; n(5) = a; n(6) = b; n(10) = c; n‘(7) = d; n‘‘(4) = e b) n(t) beschreibt die Virenanzahl nach t Sekunden. n‘‘(t) = − 300; n‘(4) = 5 000; n‘(5) = a; n‘(3) = b; n‘‘(4) = c; n(4) = e c) T(h) beschreibt die Temperatur (in °C) in der Höhe h (in m). T‘(h) = − 0,1; T(300) = 15; T‘(400) = a; T(310) = b; T‘‘(300) = c; T(299) = d d) p(h) beschreibt den Druck p in der Einheit Pascal (Pa) in der Höhe h in Meter (m). p(h) = 1 000; p‘(2 000) = a; p‘‘(1000) = b; p(200) = c 1) Interpretiere die Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung der angegebenen Funktion. 2) Bestimme die passenden Einheiten von a, b, c und d. a) v(t) beschreibt die Geschwindigkeit eines Körpers in km/h nach t Sekunden. v(5) = 50; v‘(t) = 2; v(6) = a; v‘‘(t) = b; v‘(6) = c; v‘‘‘(t) = d b) B(r) gibt die Beleuchtungsstärke in Lux (lx) im Abstand r Meter von einer Lichtquelle an. B‘‘(r) = − 10; B‘(2) = 20; B(10) = a; B‘(1) = b; B‘‘(3) = c; B‘‘‘(4) = d Anwendungsaufgaben Die Anzahl N der Bakterien in einer Bakterienkultur nach t Minuten kann durch N(t) = 80 · e0,029 · t, t ∈ [0; 24], modelliert werden. a) Beschreibe den Zustand der Bakterienkultur nach 20 Minuten. Verwende dabei die entsprechenden Werte von N (t), N‘(t) und N‘‘(t). b) Bestimme das Monotonieverhalten von N und interpretiere es. c) Bestimme das Monotonieverhalten von N ‘und interpretiere es. d) Interpretiere das Monotonieverhalten von N ‘‘. Es wird der Verlauf einer Erkältungskrankheit untersucht. Die Anzahl der Erkälteten N nach t Tagen kann näherungsweise durch folgenden Zusammenhang dargestellt werden: N(t) = − 1 _ 25 t 3 + t 2. a) Angenommen, die Modellierung liefert für alle Tage, an denen es mehr als 30 Betroffene gibt, gute Resultate. Bestimme die Definitionsmenge von N (t). b) Bestimme, an welchem Tag die meisten Personen erkältet sind, und gib die Höchstzahl der Betroffenen an. c) Bestimme das Krümmungsverhalten von N (t) an der Stelle t = 10 und interpretiere es. d) Wann ist die Zunahme der Erkältungen am stärksten? e) Bestimme, in welchem Intervall die Erkrankungsrate (Erkrankungsgeschwindigkeit) negativ ist, und interpretiere das Ergebnis. t 700 t 701 702 703 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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