186 8.2 Anwendungen aus Naturwissenschaft und Medizin Lernziele: º Die erste und zweite Ableitung im Kontext interpretieren können º Naturwissenschaftliche Zusammenhänge mit Hilfe der Differentialrechnung untersuchen können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 1.3 D en Differenzen und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und ent- sprechende Sachverhalte durch Differenzen- und Differentialquotienten beschreiben können Zusammenhänge zwischen naturwissenschaftlichen Größen werden oft mit Funktionen beschrieben. Daher wird die Differentialrechnung in den Naturwissenschaften auch zur Untersuchung solcher Zusammenhänge eingesetzt. Besondere Bedeutung hat dabei die Berechnung momentaner Änderungsraten, da diese durch Messungen nicht bestimmt werden können. Interpretation der ersten Ableitung Bei der Interpretation der ersten Ableitung einer Funktion in einem bestimmten Kontext hilft es, wenn man sich zunächst die Einheit der Änderungsrate mit Hilfe der Leibniz’schen Schreibweise überlegt und diese dann mit dem Wort „pro“ ausdrückt. p(h) beschreibt den Druck p in der Einheit Pascal (Pa) in der Höhe h in Meter (m). p‘(h) = dp _ dh besitzt daher die Einheit Pa _ m =„Pascal pro Meter“. p‘(h) kann auf zwei Arten interpretiert werden: – p‘(h) gibt die momentane Änderung des Druckes pro Meter in der Einheit Pa/m an. – p‘(h) gibt die momentane Änderungsgeschwindigkeit des Druckes in Pa/m an. Beispiel: p‘(500) = − 3 Pa/m Interpretation: In 500 m Höhe beträgt die (momentane) Druckänderung − 3 Pa/m. In 500 m Höhe nimmt der Druck (momentan) um 3 Pa pro m ab. In 500 m Höhe beträgt die (momentane) Änderungsgeschwindigkeit des Druckes − 3 Pa/m. Würde p‘(h) konstant − 3 Pa/msein, so würde für p (500) = 1 000 PaFolgendes gelten: p(500) = 1 000 Pa, p(501) = 997 Pa; p(502) = 994 Pa; p(504) = 988 Pau.s.w. Interpretation der zweiten Ableitung Die Interpretation der zweiten Ableitung einer Funktion ist meist etwas komplizierter, weil durch sie immer die Änderung einer Änderung beschrieben wird. Da es sich bei der zweiten Ableitung um die momentane Änderung der „Änderungsgeschwindigkeit“ mit der Höhe handelt, besitzt sie die Einheit Pa _ m m = Pa _ m 2 = Pa · m −2 („Pascal pro Meter Ouadrat“). p″(h) gibt die momentane Veränderung der Änderungsgeschwindigkeit in P a/m2 an. Kompetenzen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=