185 Anwendungen der Differentialrechnung > Anwendungen aus der Wirtschaft Nachfragefunktion Beschreibt p(x) den Preis, bei dem eine bestimmte Mengeneinheit x einer Ware nachgefragt wird, wird p als Nachfragefunktion bezeichnet. Ist z.B. p gegeben durch p (x) = − 0,1 x + 20, bedeutet p (120) = 8, dass bei einem Preis von 8 GE eine Menge von 120 ME nachgefragt (verkauft) wird. Der Wert p (0) = 20GE gibt den Preis an, bei dem keine Mengeneinheit der Ware mehr verkauft werden könnte (Höchstpreis). Die Nullstelle von p gibt die sogenannte Sättigungsmenge an: p(200) = 0heißt, dass bei xs = 200 MEder Markt gesättigt ist und der Preis pro Mengeneinheit der Ware nur mehr 0 GE beträgt, d.h. die Ware könnte nur mehr verschenkt werden. Nachfragefunktion Die Nachfragefunktion p(x) beschreibt den Preis (in GE) bei dem x ME einer Ware abgesetzt werden können. p(0) beschreibt den Höchstpreis (Preis, bei dem der Absatz 0 ME beträgt.) Gilt p( x s) = 0, wird x s als Sättigungsmenge bezeichnet. Bestimme zur gegebenen Nachfragefunktion p den Höchstpreis und die Sättigungsmenge. a) p(x) = − 0,2 x + 30 b) p(x) = − 0,1 x + 50 c) p(x) = − 0,4 x + 100 d) p (x) = − 0,5 x + 1 400 Gegeben sind die Kostenfunktion K mit K (x) = 0,2 x2 + x + 100und die Nachfragefunktion p mit p (x) = − 0,3 x + 20. Bestimme 1) die Erlösfunktion E, 2) die Gewinnfunktion G, 3) den Break-even-point und die Gewinngrenze und interpretiere die Ergebnisse. 1) Es gilt E(x) = p(x) · x, daher lautet die Erlösfunktion: E(x) = ( − 0,3 x + 20) · x = − 0,3 x 2 + 20 x 2) Für die Gewinnfunktion G gilt: G(x) = E(x) − K(x) = − 0,3 x 2 + 20 x − 0,2 x 2 − x − 100 = − 0,5 x 2 + 19 x − 100 3) Die Nullstellen von G geben den Break-even-point (Gewinnschwelle) und die Gewinngrenze an: G(x) = − 0,5 x 2 + 19 x − 100 = 0, d.h. x 1 ≈ 6,3 ME(Break-even-point) und x 2 ≈ 31,7ME (Gewinngrenze). Über 6,3 ME macht der Betrieb Gewinn, über 31,7ME wieder Verlust. Gegeben sind die Kostenfunktion K und die Nachfragefunktion p. Bestimme den Break-evenpoint und die Gewinngrenze. a) K(x) = 0,3 x2 + x + 120, p(x) = − 0,2 x + 19 c) K(x) = 0,3 x2 + 2 x + 70, p(x) = − 0,3 x + 18 b) K (x) = 0,5 x2 + 2 x + 90, p(x) = − 0,6 x + 24 d) K(x) = 0,8 x2 + 4 x + 120, p(x) = − 0,9 x + 50 Gegeben sind die Kostenfunktion K und die Nachfragefunktion p. Berechne die Sättigungsmenge und die Menge, bei der der Gewinn maximal wird. a) K(x) = 0,05 x3 − 2 x 2 + 30 x + 120, p(x) = 0,1 x2 − 7,5 x + 125 b) K(x) = 0,04 x3 − x 2 + 20 x + 150, p(x) = 0,1 x2 − 8,5 x + 115 c) K (x) = 0,03 x3 − x 2 + 22 x + 200, p(x) = 0,1 x2 − 7x + 110 d) K(x) = 0,02 x3 − 0,8 x 2 + 19 x + 140, p(x) = 0,1 x2 − 8 x + 100 Merke 696 Muster 697 698 699 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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