184 Anwendungen der Differentialrechnung > Anwendungen aus der Wirtschaft 8 Die Kostenfunktion eines Betriebs wird durch K(x) = 20 x + 3 000modelliert. Pro Stück wird ein Verkaufspreis von 50 GE erzielt. Bestimme die Erlösfunktion und die Gewinnschwelle. Für die Erlösfunktion gilt: E (x) = 50 x. Die Berechnung der Gewinnschwelle erfolgt durch Gleichsetzen der Kosten- und der Erlösfunktion: 5 0 x = 20 x + 3 000 ⇒ x = 100. Bei einem Absatz von über 100 Stück macht man Gewinn. Der Graph von E verläuft dann oberhalb des Graphen von K. Bestimme den Break-even-point und stelle die Funktionen K und E graphisch dar. a) K(x) = 30 x + 1 000; E(x) = 40 x c) K(x) = 1,5 x + 100; E(x) = 2,5 x b) K(x) = 35 x + 2 000; E(x) = 55 x d) K(x) = 0,5 x + 150; E(x) = 2 x Musikboxen werden für einen Preis von 80 € pro Stück verkauft. Pro Box fallen Kosten in Höhe von 30 € an, die Verwaltungskosten und sonstige Fixkosten betrugen in der vergangenen Produktionsperiode 3 000 €. Ab welcher Produktions- und Absatzmenge macht der Betrieb einen Gewinn? Die Fixkosten bei der Produktion von Müsliriegeln betragen 850 000 € pro Jahr. Pro Riegel kalkuliert man Kosten in der Höhe von 0,25 €. Im Handel wird ein Riegel für 0,45 € angeboten. Berechne die Gewinnschwelle und den dabei erzielten Erlös. Eine Kostenfunktion K vom Grad > 1 wird in der Regel von der (linearen) Erlösfunktion E zweimal geschnitten. Die erste Schnittstelle gibt die Gewinnschwelle an, die zweite Stelle die Produktionsmenge, bei der das Unternehmen wieder in den Verlustbereich rutscht. Diese Stelle wird als Gewinngrenze bezeichnet. Die Stellen der Kostenfunktion K, die dieselbe Steigung wie die Erlösfunktion E haben, d.h. an denen E‘(x) = p = K‘(x) gilt, geben die Produktionsmengen an, bei denen der größte Verlust bzw. der größte Gewinn erzielt wird. Gewinngrenze Die Gewinngrenze gibt die Produktionmenge an, ab der mit steigender Produktionsmenge wieder ein Verlust gemacht wird. Berechne für die gegebene Kostenfunktion K und die Erlösfunktion E 1) die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze 2) die Menge, bei der der maximale Gewinn erzielt wird. a) K(x) = 3 x2 + 100 x + 7500; E(x) = 475 x c) K(x) = 0,1 x2 + 5 x + 40; E(x) = 10 x b) K(x) = 0,1 x2 + 50 x + 490; E(x) = 100 x d) K(x) = 0,04 x2 + 4 x + 250; E(x) = 15 x Berechne für die gegebene Kostenfunktion K und die Erlösfunktion E 1) die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze sowie 2) die Menge, bei der der maximale Gewinn erzielt wird. a) K(x) = x 3 − 6,2 x 2 + 17 x + 27; E(x) = 38,8 x b) K(x) = 0,1 x3 − x 2 + 4 x + 5; E(x) = 4 x Tipp: Die Gewinnschwelle wird bei nicht ganzzahligen Ergebnissen immer aufgerundet, die Gewinngrenze immer abgerundet. Muster 690 x K(x), E(x) 40 80 120 160 2000 4000 6000 0 K E Breakevenpoint 691 692 693 x inME E(x), K(x) in GE K(x) E(x) größter Verlust Gewinnschwelle optimale Menge Gewinngrenze + – Merke 694 695 Ó Arbeitsblatt Funktionen aus der Wirtschaft pd6j7k Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=