183 Anwendungen der Differentialrechnung > Anwendungen aus der Wirtschaft Bestimme die Kostenkehre für die Kostenfunktion K. a) K(x) = 1 _ 1 200 x 3 − 1 _ 4 x 2 + 40x + 7000 c) K(x) = 0,02 x3 − 3 x 2 + 180 x + 1 500 b) K(x) = 0,0002 x3 − 0,12 x2 + 35 x + 5 000 d) K(x) = 0,05 x3 − 0,3 x 2 + 5 x + 30 Für die Produktion von x Stück gilt für die Kosten der Zusammenhang K(x) = 0,2 x2 + 50 x + 8 000. Es können höchstens 300 ME in einer bestimmten Zeit erzeugt werden. Begründe graphisch und mit Hilfe der Differentialrechnung, dass sich die Kosten progressiv entwickeln. Die graphische Darstellung lässt erkennen, dass sich bei größer werdender Produktionsmenge die Kosten progressiv entwickeln. Es gilt außerdem: K‘(x) = 0,4 x + 50 bzw. K‘‘(x) = 0,4 > 0. Da K‘‘(x) für alle Produktionsmengen des Definitionsbereichs positiv ist, nehmen die Kosten K(x) mit größer werdendem x überproportional zu, d.h. die Kosten entwickeln sich progressiv. Für die Produktion von x ME gilt für die Kosten der Zusammenhang K (x). Es können höchstens 300 ME in einer bestimmten Zeit erzeugt werden. Begründe graphisch und mit Hilfe der Differentialrechnung, dass die Kostenentwicklung progressiv ist. a) K(x) = 0,1 x2 + 30 x + 5 000 b) K(x) = 0,05 x2 + 80 x + 10 000 Gegeben ist die Kostenfunktion K. Bestimme die Kostenkehre und zeige, dass für Produktionsmengen unterhalb der Kostenkehre sich die Kosten degressiv und darüber progressiv entwickeln. a) K(x) = 0,02 x3 − 1,2 x 2 + 20 x + 100 b) K(x) = 0,05 x3 − 1,2 x 2 + 15 x + 120 Erlösfunktion und Gewinnfunktion Werden x produzierte Mengeneinheiten einer Ware um p Geldeinheiten pro Stück verkauft, kann der dadurch erzielbare Erlös durch die Erlösfunktion E mit E (x) = p · xbeschrieben werden. Ein Gewinn wird erzielt, wenn der Erlös größer als die Gesamtkosten ist, d.h. E (x) − K(x) > 0, ansonsten entsteht ein Verlust. Die Menge, bei der der Erlös gerade so groß ist, dass kein Verlust entsteht (d.h. für die gilt E (x) = K(x)), heißt Gewinnschwelle oder Breakeven-point. Die Differenz von Erlös- und Kostenfunktion stellt die Gewinnfunktion G mit G (x) = E(x) − K(x) dar. Erlösfunktion E / Gewinnfunktion G / Break-even-point Ist p der Verkaufspreis pro Mengeneinheit und K die Kostenfunktion, gilt: E(x) = p·x G(x) = E(x) − K(x) Der Break-even-point (Gewinnschwelle) gibt die Produktionsmenge an, bei der der Erlös und die Kosten gleich hoch sind und ab der das Unternehmen einen Gewinn macht. 686 Muster 687 x K(x) 50 100 150 200 250 300 8000 16000 24000 32000 40000 0 K 688 689 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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