182 Anwendungen der Differentialrechnung > Anwendungen aus der Wirtschaft 8 Bei nichtlinearen Kostenfunktionen gilt im Allgemeinen nicht, dass die Stückkosten (Durchschnittskosten) bei wachsender Produktionsmenge immer kleiner werden. Vielmehr können sie bis zu einer bestimmten Produktionsmenge sinken, danach jedoch wieder steigen. Die Produktionsmenge x, bei der die Stückkosten am kleinsten sind, wird als Betriebsoptimum bezeichnet. Betriebsoptimum Die Produktionsmenge x, bei der die Stückkosten _ Kam kleinsten sind, wird als Betriebsoptimum bezeichnet. Bestimme das Betriebsoptimum, wenn die Gesamtkosten durch K (x) = 0,05 x2 + 20 x + 312 500 modelliert werden. Gib auch die minimalen Stückkosten an. Für die Stückkostenfunktion gilt: _ K (x) = 0,05 x 2 + 20 x + 312 500 ___________ x = 0,05 x + 20 + 312 500 _ x Berechnung der Extremstellen: ¯K‘ (x) = 0,05 − 312 500 _ x 2 = 0 ⇒ x = 2 500 Da _ K ‘‘(2 500) > 0 ist, hat _ Kbei 2 500 ein lokales Minimum. Bei einer Produktionsmenge von 2 500 ME sind die Stückkosten minimal, d.h. 2 500 ME ist das Betriebsoptimum. Für die minimalen Stückkosten gilt: _ K (2 500) = 270 GE/ME. Gegeben ist die Kostenfunktion K. Berechne das Betriebsoptimum sowie die minimalen Stückkosten. a) K(x) = 0,1 x2 + 10 x + 1 000 c) K(x) = 0,5 x2 + 300 x + 80 000 b) K(x) = 0,2 x2 + 60 x + 8 000 d) K(x) = 0,8 x2 + 700 x + 50 000 Kostenkehre Kostenentwicklungen können linear, degressiv bzw. progressiv sein. Kostenfunktionen haben im Allgemeinen für kleinere Produktionsmengen einen degressiven und für größere einen progressiven Verlauf. Erhöht man bei geringer Auslastung die Produktion, werden die Maschinen besser ausgelastet und von Zulieferern bekommt man unter Umständen bessere Konditionen bei der Beschaffung der Rohstoffe. Erhöht man jedoch die Produktion weiter, können beispielsweise höher bezahlte Überstunden die Kostenentwicklung in die Höhe treiben. Die Produktionsmenge, bei der eine degressive Kostenentwicklung in eine progressive übergeht, wird als Kostenkehre bezeichnet. Kostenkehre Der Übergang von einer degressiven Kostenentwicklung zu einem progressiven Kostenverlauf wird als Kostenkehre bezeichnet. Die Kostenkehre ist die Wendestelle der Kostenfunktion K. Merke Muster 684 685 K(x) in GE K K K x in ME K(x) in GE x in ME K(x) in GE x in ME Lineare Kosten Degressive Kosten Progressive Kosten Merke x inME K(x) inGE degressiv progressiv Kostenkehre W K Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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