180 Anwendungen der Differentialrechnung > Anwendungen aus der Wirtschaft 8 Gegeben sind die Fixkosten F und die zusätzlichen Kosten k pro erzeugter ME. Gib die lineare Kostenfunktion an. a) F = 3 000 GE; k = 90 GE b) F = 1 200 GE; k = 50 GE c) F = 4 500 GE; k = 100 GE Ein Betrieb gibt für die Abschätzung der Gesamtkosten K (x) für x produzierte Mengeneinheiten einer Ware folgenden Zusammenhang an: K (x) = k x + d. Interpretiere die beiden Werte k und d in diesem Kontext. a) k = 35; d = 20 000 b) k = 20; d = 15 000 c) k = 40; d = 35 000 Gegeben sind die Graphen der Kostenfunktionen K 1und K2. Lies die Koordinaten des Schnittpunkts ab und interpretiere ihn im gegebenen Zusammenhang. a) x K1(x), K2(x) 5 1015202530 400 800 1200 0 K1 K2 b) x K1(x), K2(x) 50 100 150 200 250 300 8000 16000 24000 0 K1 K2 Berechne die Schnittpunkte der Kostenfunktionen K 1und K2 und interpretiere sie im Kontext. a) K 1(x) = 12 000 + 40 x; K2(x) = 0,1 x 2 + 50 x + 10 000 b) K 1(x) = 72 x + 14 000; K2(x) = 0,2 x 2 + 50x + 7000 Grenzkostenfunktion Die erste Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate einer Funktion f an einer bestimmten Stelle. Dementsprechend beschreibt die erste Ableitung einer Kostenfunktion K die momentane Änderungsrate der Gesamtkosten bei einer bestimmten Anzahl produzierter Mengeneinheiten einer Ware. In der Wirtschaft wird dies gleichgesetzt mit dem dabei entstehenden (näherungsweisen) Kostenzuwachs für eine zusätzlich produzierte Mengeneinheit. Man spricht dann von den sogenannten Grenzkosten und bezeichnet K ‘(x) als Grenzkostenfunktion. Grenzkostenfunktion Die erste Ableitung K ‘(x) der Kostenfunktion K (x) wird als Grenzkostenfunktion bezeichnet. Sie gibt (näherungsweise) den Kostenzuwachs für eine zusätzlich produzierte Mengeneinheit an. Gib die Grenzkostenfunktion an und interpretiere ihre Bedeutung. a) K(x) = 15 x + 300 c) K(x) = 0,7 x2 + 50 x + 1 000 b) K(x) = 0,2 x2 + 40 x + 6 000 d) K(x) = 0,07 x3 + 100 x + 20 000 Gegeben ist die Kostenfunktion K. Bestimme die Grenzkosten für a ME sowie den tatsächlichen Kostenzuwachs K (a + 1) − K(a). Um wieviel Prozent unterscheiden sich die Grenzkosten vom tatsächlichen Kostenzuwachs? a) K(x) = 2 x3 − 14 x 2 + 33 x + 24; a = 3 c) K(x) = 0,01 x3 − 9 x 2 + 3 000 x + 10 000; a = 800 b) K(x) = x 3 − 5 x 2 + 12 x + 100; a = 2 d) K(x) = x 3 − 30 x 2 + 400 x + 512; a = 8 673 674 675 676 Merke 677 678 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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