179 8.1 Anwendungen aus der Wirtschaft Lernziele: º Die Definitionen wichtiger Funktionen der Kosten- und Preistheorie kennen º Spezielle Stellen wirtschaftlicher Funktionen durch Anwenden der Differentialrechnung bestimmen können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 1.3 D en Differenzen und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und ent- sprechende Sachverhalte durch Differenzen- und Differentialquotienten beschreiben können Mathematische Verfahren haben auf dem Gebiet der Wirtschaftswissenschaft eine große Bedeutung. Dazu sollen die wichtigsten Begriffe vorgestellt werden. Kostenfunktion Bei der Produktion von Waren entstehen einem Betrieb Kosten. Kosten, deren Höhe von der Anzahl der produzierten Stücke unabhängig sind, werden als Fixkosten bezeichnet. Der Teil der Gesamtkosten, der von der produzierten Menge x abhängt, beschreibt die variablen Kosten. Beispiele für Fixkosten sind die Miete oder die Gehälter der Angestellten. Beispiele für variable Kosten sind die Energiekosten oder die Kosten für Rohstoffe. Kostenfunktion Der funktionale Zusammenhang zwischen der produzierten Menge und den dafür anfallenden Kosten (fix und variabel) wird als Kostenfunktion K bezeichnet. Dabei werden die Kosten allgemein in Geldeinheiten (GE) und die produzierte Menge in Mengeneinheiten (ME) angegeben. Gegeben ist die Kostenfunktion K. Gib die Fixkosten sowie die variablen Kosten für x ME an. a) K(x) = 3 x + 5 c) K(x) = 0,1 x2 + 30 x + 8 000 b) K(x) = 4 000 + 200 x d) K(x) = 50 + 10 x − 3 x 2 + 0,05 x3 Gegeben ist die Kostenfunktion K. Bestimme die variablen Kosten für die Mengeneinheiten. a) K(x) = 510 + 0,4 x + 0,005 x2; x = 150 ME c) K(x) = 500 + 0,5 x + 0,02 x2; x = 250 ME b) K (x) = 0,007 x2 + 2,7x + 1 400; x = 400 ME d) K(x) = 0,5 x3 − 3,8 x 2 + 12 x + 20; x = 5 ME Die Leasinggebühr für eine Maschine beträgt pro Monat 4 000 GE. Die zusätzlichen Kosten pro weiterer erzeugter ME betragen 120 GE (darin sind alle Kosten für Material und Energie enthalten), d.h. die Kosten entwickeln sich linear. Pro Monat können maximal 1 000 Stück hergestellt werden. Stelle die Kostenfunktion K auf und gib für x einen passenden Definitionsbereich D an. Die Fixkosten betragen 4 000 GE, die variablen Kosten (in Abhängigkeit von der hergestellten Stückzahl x) betragen 120 x GE. Die Gesamtkosten setzen sich aus den variablen und den Fixkosten zusammen. Es gilt: K (x) = 120 x + 4 000 Da es keine negativen Produktionsmengen gibt und maximal 1 000 Stück monatlich erzeugt werden können, ergibt sich der Definitionsbereich D = [0; 1 000]. Kompetenzen Merke 670 671 Muster 672 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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