FA-R 5.1 FA-R 5.1 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 2.1 AN-R 2.1 FA-R 6.1 AN-R 2.1 FA-R 6.3 AN-R 1.3 175 Weg zur Matura Erweiterung der Differentialrechnung > Teil-2-Aufgaben Geschwindigkeit Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v: [1; 9] in Abhängigkeit von der Zeit t. (t in s, v in m/s). a) Die Funktion v ist eine Exponentialfunktion der Form v(t) = a·ekt. 1) Bestimme die Werte der Parameter a und k. Verwende dafür die ganzzahligen Funktionswerte an den Stellen 1 und 2. 2) Bestimme jenen Zeitpunkt in [1; 9], an dem der Körper am stärksten bremst. b) Eine weitere Zeit-Geschwindigkeitsfunktion ist gegeben durch v mit v(t) = 10 · e−0,22 t. 1) Bestimme jenen Zeitpunkt, an dem die Momentangeschwindigkeit des Autos gleich der mittleren Geschwindigkeit in [1; 9] ist. c) 1) Gegeben ist die Exponentialfunktion r mit r(x) = e x und k ∈ ℝ +. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A (r(k · x))‘ = r(x) B (r(k · x))‘ = k · r‘(x) C (r(k · x))‘ = k · r‘(k · x) D (k · r(x))‘ = r‘(x) E (k · r(x))‘ = k · r(x) Bewegung eines Pendels Ein Pendel bewegt sich hin und her. Den Abstand des Pendels s (in cm) zu seiner Ruhelage in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden) kann man in der gegebenen Graphik ablesen. a) Die Funktion s kann durch die Funktion s mit s(t) = a · sin(0, 4 · t), a ∈ ℝ +, beschrieben werden. 1) Bestimme den Wert a durch Ablesen aus der Graphik. 2) Berechne jenen Zeitpunkt in [6; 10], an dem der Körper die größte Geschwindigkeit besitzt. b) Ein anderes Pendel H bewegt sich gemäß der Funktion h mit h(t) = u · sin(v · t), u, v ∈ ℝ +. 1) Die Funktion h wird zweimal abgeleitet. Erkläre anhand der Ableitungsregel welcher Fehler gemacht wurde. i) h‘(t) = u · v · cos(v · t) ii) h‘‘(t) = − u · v · sin(v · t) 2) Ein weiteres Pendel R bewegt sich gemäß der Funktion r mit r(t) = p · sin(s · t), p, s ∈ ℝ +. Dieses Pendel besitzt die gleiche maximale Auslenkung wie das Pendel H, bewegt sich aber schneller. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A s > v B p = v C s = v D p = u E p < u M2 653 t 2 4 6 2 4 6 0 8 10 8 10 12 v v(t) M2 654 t s(t) 2 4 6 8 10121416182022 3 2 1 4 –3 –2 –1 –4 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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