AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 2.1 AN-R 32.13 AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 174 7 Weg zur Matura Erweiterung der Differentialrechnung > Teil-2-Aufgaben Teil-2-Aufgaben Anzahl von Atomen Die Anzahl A der Atome eines radioaktiven Stoffs in Abhängigkeit von der Zeit t (in Stunden) ist ungefähr gegeben durch A(t) = 250 000 · e−0,116534·t. a) 1) Berechne den Differenzenquotienten von A in [1; 4]. 2) Interpretiere dein Ergebnis im gegebenen Kontext. b) 1) Ermittle die momentane Änderungsrate von A zu den Zeitpunkten t = 3und t = 4. 2) Erkläre mit Hilfe einer Skizze, warum folgender Zusammenhang richtig sein muss: A‘(a) < A‘(b) für alle a < b. Hyperbelfunktionen Die Euler’sche Zahl e ist benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler. Sie ist eine irrationale Zahl. Es gilt: e = lim n→∞ (1 + 1 _ n) n = 2, 718 281 828 459 045 … Unter anderem wird sie bei Wachstums- und Abnahmeprozessen oder zur Definition der sogenannten Hyperbelfunktionen Sinus Hyperbolicus (Abkürzung sinh) und Cosinus Hyperbolicus (cosh) verwendet: sinh(x) = e x − e −x _ 2 cosh(x) = e x + e −x _ 2 Die Graphen der beiden Funktionen sind in nebenstehender Abbildung dargestellt. a) 1) Beweise rechnerisch folgenden Zusammenhang: f(x) = sinh(x) ⇒ f‘(x) = cosh(x) 2) Begründe mit Hilfe der ersten Ableitung der Funktion f mit f(x)= sinh(x), dass der Graph von f streng monoton steigend ist. b) 1) Gegeben sind Aussagen über die hyperbolischen Funktionen f(x) = cosh(x) und h(x) = sinh(x). Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A f ist in [− 2; 2] streng monoton steigend. B f‘ist in [− 2; 2] streng monoton steigend. C Die mittlere Änderungsrate von h in [− 2; 2] ist negativ. D Die Tangentensteigungen von h im Intervall [− 2; 2] nehmen für größer werdendes x zu. E f‘besitzt an der Stelle 0 eine Nullstelle. c) Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=sinh(x – 2). 1) Berechne jene Stelle von f, an der die Steigung der Tangente am kleinsten ist. M2 651 K M2 652 x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 8 –2 0 cosh(x) sinh(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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