172 Erweiterung der Differentialrechnung > Stetigkeit und Differenzierbarkeit 7 Differenzierbare Funktionen Differenzierbarkeit einer Funktion Eine Funktion f: D → ℝ heißt an einer Stelle p (p ∈ D) differenzierbar, wenn f‘(p) = lim x→p f(x) − f(p) _ x − p existiert. Ist eine Funktion an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar, dann nennt man f eine differenzierbare Funktion. Gib an, ob die Funktion f mit f(x) = |x|an der Stelle 0 differenzierbar ist. Betrachtet man die Abbildung, so erkennt man, dass an der Stelle 0 keine eindeutige Tangente möglich ist. f ist an der Stelle 0 daher nicht differenzierbar. Betrachtet man den links- und rechtsseitigen Grenzwert, so erhält man: lim x→0− |x| − 0 _ x = − 1(da x < 0) lim x→0+ |x| − 0 _ x = 1(da x > 0) Der Grenzwert existiert nicht, da der links- und rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen. Daher ist f an der Stelle 0 nicht differenzierbar. Tipp: Alle differenzierbaren Funktionen sind auch stetig. Der Graph einer differenzierbaren Funktion darf keinen „Knick“ besitzen. Gib an, an welcher Stelle f nicht differenzierbar ist und begründe deine Entscheidung. a) f(x) = |x − 3| b) f(x) = 2 · |x + 1| c) f(x) = |2 x − 1| d) f(x) = |x + 3| + 2 Zusammenfassung Ableitungsregeln Produktregel f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f‘(x) = g‘(x) · h(x) + g(x) · h‘(x) Quotientenregel f(x) = g(x) _ h(x) ⇒ f‘(x) = g‘(x) · h(x) − g(x) · h‘(x) ____________ (h(x)) 2 Konstantenregel f(x) = g(k · x), k ∈ R ⇒ f‘(x) = k · g‘(k · x) Kettenregel f(x) = g(h(x)) ⇒ f‘(x) = g‘(h(x)) · h‘(x) Weitere Ableitungsregeln f(x) = sin(x) ⇒ f‘(x) = cos(x) f(x) = cos(x) ⇒ f(x) = − sin(x) f(x) = e x ⇒ f‘(x) = e x f(x) = ln(x) ⇒ f‘(x) = 1 _ x f(x) = a x ⇒ f‘(x) = a x · ln(a) f(x) = log a x ⇒ f‘(x) = 1 _ x · ln(a) f(x) = x r (r ∈ ℝ) ⇒ f‘(x) = r·xr−1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle p, wenn der Grenzwert lim x→p f(x) existiert und mit dem Funktionswert f(p)übereinstimmt (lim x→p f(x) = f(p)). Eine Funktion f: D → ℝ heißt an einer Stelle p (p ∈ D) differenzierbar, wenn f‘(p) = lim x→p f(x) − f(p) _ x − p existiert. Merke Muster 644 x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 0 f 645 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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