171 Erweiterung der Differentialrechnung > Stetigkeit und Differenzierbarkeit Der Begriff der „Stetigkeit“ ist in der Mathematik oft eine Voraussetzung für wichtige Aussagen über Funktionen. Tipp: Besitzt der Graph einer Funktion keine Sprünge und kann man ihn mit dem Bleistift in einem durchzeichnen, dann ist f stetig. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = { |x| für x ≠ 0 − 1 für x = 0 . Überprüfe, ob f mit D = ℝ stetig ist. Zeichnet man den Funktionsgraphen von f, dann erkennt man, dass man den Bleistift bei x = 0 absetzen muss. f ist an der Stelle 0 nicht stetig. Rechnerisch wird der Grenzwert der Funktion für x → 0von links und rechts betrachtet: lim x→0− f(x) = 0 (Grenzwert von x → 0von links) lim x→0+ f(x) = 0 (Grenzwert von x → 0von rechts) f(0) = − 1 ⇒ Es existiert zwar ein Grenzwert, dieser stimmt aber nicht mit dem Funktionswert an der Stelle 0 überein. Daher ist die Funktion an der Stelle 0 nicht stetig. Gib an, ob die Funktion f mit D = ℝ stetig ist. a) f(x) = { − 3 für x ≠ 1 2 für x = 1 d) f(x) = { 1 − e x für x ≥ 0 x 2 für x < 0 g) f(x) = { sin(x) für x > 0 2 x für x ≤ 0 b) f(x) = { x 2 für x ≠ 2 4 für x = 2 e) f(x) = { 3 x − 2 für x > 1 − 2 x + 3 für x ≤ 1 h) f(x) = { e x + 3 für x ≥ 0 x − 2 für x < 0 c) f(x) = { 1 für x ≥ 1 − 1 für x < 1 f) f(x) = { 3 x − 5 für x ≥ 3 x 2 für x < 0 i) f(x) = { x 2 + 3 für x > 2 7 für x ≤ 2 Tipp: Potenzfunktionen, Polynomfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, rationale Funktionen und Winkelfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig. Gib mit Hilfe von geometrischen Überlegungen an, ob die Funktion f an den Stellen x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, stetig ist. a) x f(x) f x1 x2 x3 x4 x5 b) f(x) f x x1 x2 x3 x4 x5 Gib an, ob folgende Aussage richtig ist: „Die Funktion f mit f(x) = 1 _ 1 − x ist nicht stetig, da an der Stelle 1 eine Polstelle liegt.“ Tipp: Vergleiche mit der Definition von Stetigkeit auf Seite 170. Muster 640 x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 0 f 641 642 643 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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