170 7.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit Lernziele: º Stetige Funktionen erkennen und definieren können º Differenzierbare Funktionen erkennen und definieren können Der Differentialquotient wurde in den Kapiteln 2 und 3 als Grenzwert einer Funktion bezeichnet. In Lösungswege 6 wurde allerdings nur der Grenzwert von Folgen definiert. In diesem Abschnitt werden daher die Begriffe Grenzwert einer Funktion und Differenzierbarkeit genauer betrachtet und es wird erklärt, wann eine Funktion stetig ist. Berechne den Grenzwert der gegebenen Folge. a) a n = 1 _ n b) a n = 2 − 5 n _ n + 3 c) a n = 2 + 5 n _ n 2 − 3 n d) a n = n 2 _ n 2 − 5 n e) a n = 5 n 3 − 4 n 2 + 1 _ 2 n 5 − 4 n 3 Stetige Funktionen Betrachtet man die beiden Graphen der beiden abgebildeten Funktionen an der Stelle 0, so ist ein großer Unterschied erkennbar. x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 0 f x f(x) f 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –2 0 Egal, ob man die x-Werte von links oder rechts gegen 0 gehen lässt, bewegen sich die Funktionswerte auch gegen 0. Lässt man hier die x-Werte von links für x < 0 gegen 0 gehen, gehen die Funktionswerte gegen − 1. Lässt man die x-Werte von rechts für x > 0gegen 0 gehen, gehen die Funktionswerte gegen + 1. Der Funktionswert an der Stelle 0 ist allerdings 0. Man sagt, dass bei der linken Funktion ein Grenzwert für x → 0existiert und dass diese Funktion an dieser Stelle stetig ist. Bei der rechten Funktion existiert kein Grenzwert für x → 0, sie ist an dieser Stelle unstetig. Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion a heißt Grenzwert einer Funktion f: D → ℝ an der Stelle p (a = lim x→p f(x)), wenn für jede beliebige Folge xn ∈ D, die gegen p konvergiert, die Folge der Funktionswerte f(xn)gegen a strebt. Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle p, wenn der Grenzwert lim x→p f(x) existiert und mit dem Funktionswert f(p) übereinstimmt (lim x→p f(x) = f(p)). Ist eine Funktion an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig, dann nennt man diese Funktion stetige Funktion. Kompetenzen Vorwissen 639 Ó Technologie Anleitung Grenzwert y37gg7 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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