17 Gleichungen höheren Grades > Nullstellen von Polynomfunktionen Zusammenfassung Algebraische Gleichung Eine Gleichung der Art a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a0= 0mit a n ≠ 0, a0, a 1, …, an ∈ ℝ, n ∈ ℕ \ {0}wird als algebraische Gleichung vom Grad n mit reellen Koeffizienten bezeichnet. Ist der führende Koeffizient a n = 1, spricht man von einer normierten algebraischen Gleichung oder von der Normalform. Polynomfunktion vom Grad n Eine reelle Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + … + a 1 x + a0 mit a n, a n−1, …, a0 ∈ ℝ, a n ≠ 0, n ∈ ℕ \ {0} heißt Polynomfunktion vom Grad n. Lösen algebraischer Gleichungen Algebraische Gleichungen kann man durch – Herausheben – Anwenden der Horner’schen Regel – Substitution – Abspalten von Linearfaktoren lösen. Nullstelle Ist f eine reelle Funktion, dann heißt eine Stelle a ∈ ℝ Nullstelle von f, wenn f(a) = 0ist. Anzahl von Nullstellen Eine Polynomfunktion vom Grad n kann höchstens n Nullstellen besitzen. Mehrfache Nullstelle Ist x 0 eine mehrfache Nullstelle einer Polynomfunktion f, dann schmiegt sich der Graph von f an dieser Stelle an die x-Achse (die waagrechte Achse) an. Beispiel: f ist eine Polynomfunktion 3. Grades x f(x) x0 f x f(x) x0 f x 0 ist eine dreifache Nullstelle x 0ist eine Doppelnullstelle Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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