169 Erweiterung der Differentialrechnung > Weitere Kurvendiskussionen Ein Körper ist an einer Spiralfeder befestigt. Sein Abstand von der Ruhelage in Abhängigkeit von der Zeit t wird durch s(t) beschrieben. Bestimme 1) die Nullstellen 2) die Extrempunkte 3) die Wendestellen 4) das Monotonieverhalten 5) die kleinste Periode von s und interpretiere die Ergebnisse im vorliegenden Kontext. a) s(t) = 3 · sin(3 t) c) s(t) = 2 · sin(π t) e) s(t) = 5 · cos(0,5 t) b) s (t) = 2 · sin(0,5 t) d) s(t) = 3 · cos(2 t) f) s(t) = 3 · cos(0,5 π t) Bestimme mit Hilfe eines elektronischen Hilfsmittels 1) die Nullstellen 2) die Extrempunkte 3) die Wendestellen 4) die kleinste Periode von f. a) f(x) = sin2(x) b) f(x) = cos2(x) c) f(x) = sin(x) · cos(x) Kurvendiskussion – Exponentialfunktionen In diesem Teil werden die bisherigen Methoden zur Untersuchung von Exponentialfunktionen verwendet. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x + 1) · e 1 _ 2 x. Bestimme a) die Nullstellen b) die Extremstellen c) die Wendestellen d) das Monotonieverhalten e) das Krümmungsverhalten von f. f) Skizziere den Graphen von f. Zuerst werden die ersten drei Ableitungen von f mit Hilfe der Produktregel gebildet: f‘(x) = − 1 _ 2 · e − 1 _ 2 x · (x − 1) f‘‘(x) = 1 _ 4 · e − 1 _ 2 x · (x − 3) f‘‘‘(x) = − 1 _ 8 · e − 1 _ 2 x · (x − 5) a) f(x) = 0 0 = (x + 1) · e − 1 _ 2 x Da e − 1 _ 2 x nie 0 sein kann, muss nur der Term x + 1betrachtet werden: x + 1 = 0 x = − 1 N = (− 1|0 ) b) f‘(x) = 0 0 = − 1 _ 2 · e − 1 _ 2 x · (x − 1) x = 1 Bestimmen des Funktionswerts: f(1) = 2·e− 1 _ 2 ≈ 1, 21 E = (1|1, 21) Art des Extremums: f‘‘(1) = − 1 _ 2 · e − 1 _ 2 < 0 E ist ein Hochpunkt. c) f‘‘(x) = 0 0 = 1 _ 4 · e − 1 _ 2 x · (x − 3) x = 3 Bestimmen des Funktionswerts: f(3) = 4·e−3 _ 2 ≈ 0, 89 W = (3|0, 89) Überprüfen, ob ein Wendepunkt vorliegt: f‘‘‘(3) ≠ 0 W ist ein Wendepunkt d) streng monoton steigend in (−∞; 1] streng monoton fallend in [1; ∞) e) rechtsgekrümmt in (−∞; 3] linksgekrümmt in [3; ∞) f) Skizze Bestimme 1) die Nullstellen 2) die Extrempunkte 3) die Wendepunkte 4) das Monotonieverhalten 5) das Krümmungsverhalten von f. a) f(x) = (x + 3) · e 1 _ 2 x c) f(x) = (3 x − 6) · e 1 _ 5 x e) f(x) = (x 2 − 16) · e 1 _ 4 x b) f(x) = (2 x − 3) · e 2 _ 3 x d) f(x) = (x 2 − 9) · e 1 _ 2 x f) f(x) = (x 2 + 1) · e 1 _ 2 x 635 636 Muster 637 x f(x) 2 4 6 8 10121416 –4 –2 1 2 –2 –1 0 f 638 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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