168 Erweiterung der Differentialrechnung > Weitere Kurvendiskussionen 7 Durchführen einer Kurvendiskussion einer Funktion f (nicht Polynomfunktion) Die genaue Anleitung für Kurvendiskussionen bei Funktionen, die keine Polynomfunktionen sind, befindet sich im Digitalen Zusatzmaterial. Führe eine Kurvendiskussion durch. a) f(x) = x _ x − 3 d) f(x) = − 2 x _ 3 x 2 − 27 g) f(x) = 2 x 2 − 8 _ 4 x + 12 b) f(x) = 2 x _ x − 1 e) f(x) = − 4 x _ 2 x 2 − 8 h) f(x) = x 2 − 1 _ 4 x + 8 c) f(x) = 2 x + 4 _ 3 x − 6 f) f(x) = 5 x _ x 2 − 1 i) f(x) = x 2 − 16 _ 2 x + 4 Kurvendiskussion – Winkelfunktionen Mit Hilfe der bekannten Methoden können auch Funktionen, die Winkelfunktionen beinhalten, untersucht werden. Hierbei ist die Anwendung von Technologie sehr hilfreich. Beachte, dass Winkelfunktionen periodisch sind. Ein Körper hängt an einer Spiralfeder. Sein Abstand von der Ruhelage s in Abhängigkeit von der Zeit wird durch s(t) = 4 · sin(2 t)beschrieben. Bestimme a) die Nullstellen b) die Extremstellen c) die Wendestellen d) das Monotonieverhalten e) die kleinste Periode von s und interpretiere die Ergebnisse im vorliegenden Kontext. Zuerst werden die ersten drei Ableitungen berechnet: s‘(t) = 8 · cos(2 t) s‘‘(t) = − 16 · sin(2 t) s‘‘‘(t) = − 32 · cos(2 t) a) 0 = 4 · sin(2 t) sin(2 t) = 0 ⇒ t = 0, π _ 2 , π … Nullstellen bei t = k · π _ 2 , k ∈ ℤ Zu diesen Zeitpunkten erreicht das Pendel die Position der Ruhelage. b) 0 = 8 · cos(2 t) cos(2 t) = 0 ⇒ t = π _ 4 , 3 π _ 4 , 5 π _ 4 … allgemein: Extremstellen bei t = π _ 4 + k· π _ 2 , k ∈ ℤ Zu diesen Zeitpunkten ist der Abstand zur Ruhelage maximal, dabei ist die momentane Geschwindigkeit 0. Funktionswerte: s(π _ 4 ) = 4, s( 3 π _ 4 ) = − 4, … Art des Extremums: s‘‘(π _ 4 ) = − 16 < 0, s( 3 π _ 4 ) = 16 > 0, Hochpunkte: (π _ 4 + k·π|4) Tiefpunkte: ( 3 π _ 4 + k·π|− 4) c) 0 = − 16 · sin(2 t) sin(2 t) = 0 ⇒ t = 0, π _ 2 , 3 π _ 2 … Wendestellen bei t = k · π _ 2 , k ∈ ℤ An diesen Stellen hat der Körper seine höchste Geschwindigkeit erreicht. Wendepunkte: W = (k · π _ 2 |0) d) streng monoton steigend in [π _ 4 + k·π; 3 π _ 4 + k·π] streng monoton fallend in [3 π _ 4 + k·π; 5 π _ 4 + k·π], k ∈ ℤ e) kleinste Periode: π Technologie Ó Technologie Anleitung rationale Funktionen 96dx5r 633 Muster 634 Ó Technologie Anleitung Winkelfunktionen q3iv6d t s(t) 4 8 12 16 20 –12 –8 –4 2 4 –4 –2 0 s Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=