167 Erweiterung der Differentialrechnung > Weitere Kurvendiskussionen Zeichne den Graphen der Funktion f sowie die Asymptoten von f mit Hilfe eines elektronischen Hilfsmittels und bestimme die Gleichungen der Asymptoten. a) f(x) = 3 _ x − 5 c) f(x) = 3 x _ x + 3 e) f(x) = 3 x 2 − 6 x + 1 _ 2 x − 4 b) f(x) = − 5 _ 2 x + 1 d) f(x) = 12 x − 5 _ 4 x − 5 f) f(x) = 3 x 2 _ x − 5 Aufstellen der Asymptoten einer Funktion f Geogebra: Asymptote(f) Asymptote(1/x – 1) x = 1, y = 0 Casio: Kegelschnitt-Anwendung ⇒ Funktionsgleichung eingeben ⇒ ^ ⇒ Analyse/ Grafische Lösung/Asymptoten TI-Nspire: Graph-Eingabe/Beabeitung ⇒ Vorlagen Gleichungssystem ⇒ Kegelschnitte ⇒ Graph analysieren ⇒ Analyse von Kegelschnitten ⇒ Asymptoten Es sei f(x) = g(x) _ h(x)eine gebrochen rationale Funktion, n der Grad von g (x) und r der Grad von h (x). a) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit f eine senkrechte Asymptote besitzt? b) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit f eine waagrechte Asymptote besitzt? c) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die x-Achse Asymptote ist? d) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit f eine schräge Asymptote besitzt? Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 − 4 _ 4 x + 12. Führe eine Kurvendiskussion durch. Zuerst werden die ersten drei Ableitungen berechnet. Dabei muss die Quotientenregel oder Technologie verwendet werden. f‘(x) = x 2 + 6 x + 4 _ 4 x 2 + 24 x + 36 f‘‘(x) = 5 ___________ 2 x 3 + 18 x2 + 54 x + 54 f‘‘‘(x) = − 15 ________________ 2 x 4 + 23 x3 + 108 x2 + 216 x + 162 1) Definitionsmenge: Da man durch null nicht dividieren darf, gilt: D = ℝ \ {− 3}. 2) Nullstellen: 0 = x 2 − 4 _ 4 x + 12 ⇒ x 1 = 2, x2 = − 2 Schnittpunkte mit der x-Achse: N1 = (− 2|0 ), N 2 = (2|0 ) 3) Extremstellen: 0 = x 2 + 6 x + 4 _ 4 x 2 + 24 x + 36 ⇒ x 1 = − 5, 24, x2 = − 0, 76 Art der Extremstellen: f‘‘(− 5, 24) = − 0,22 < 0 ⇒ lokales Maximum f‘‘(− 0, 76) = 0,22 > 0 ⇒ lokales Minimum Berechnen der Funktionswerte: f(− 5, 24) = − 2, 62, f(− 0, 76) = − 0, 38 Die Extrempunkte sind: H = (− 5, 24|− 2, 62), T = (− 0, 76|− 0, 38) 4) Monotonieintervalle: Da die Funktion an der Stelle − 3keinen Funktionswert annehmen kann, muss diese Stelle bei der Angabe der Monotonieintervalle berücksichtigt werden. Es ergeben sich daher folgende Monotonieintervalle (vgl. mit dem Graphen von f): (− ∞; − 5, 24] und [ − 0,76; ∞)streng monoton steigend [ − 5, 24; − 3) und (− 3; − 0, 76) streng monoton fallend 5) Wendestellen: 0 = 5 _ 2 x 2 + 18 x + 54 x + 54 ⇒ es gibt keine Wendestellen 6) Krümmungsintervalle: (− ∞; − 3)rechtsgekrümmt (− 3; ∞)linksgekrümmt 7) es gibt keine Wendetangenten 8) Asymptoten: Eine Asymptote befindet sich bei der Polstelle. Die schräge Asymptote kann z.B. durch Polynomdivision bestimmt werden. a 1: x = − 3 a 2: y = 1 _ 4 x − 3 _ 4 9) Skizze 630 Technologie 631 Muster 632 x f(x) 2 4 6 8 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 –8 –6 –4 –2 0 f Ó Technologie Anleitung Asymptoten 2658ab Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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