166 7.3 Weitere Kurvendiskussionen Lernziele: º Kurvendiskussionen bei rationalen Funktionen durchführen können º Kurvendiskussionen bei Winkelfunktionen durchführen können º Kurvendiskussionen bei Exponentialfunktionen durchführen können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 3.3 E igenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen In 3.3 wurden bereits Polynomfunktionen untersucht. Dabei wurde zuerst die Definitionsmenge aufgestellt. Anschließend wurden Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen ermittelt und die Wendetangenten aufgestellt. In diesem Abschnitt wird dieses Wissen auf weitere Funktionstypen angewendet. Kurvendiskussion – rationale Funktionen In diesem Abschnitt werden gebrochen rationale Funktionen untersucht. Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = g(x) _ h(x), wobei g und h zwei Polynomfunktionen sind. Betrachtet man den Graphen der Funktion f mit f(x) = x 2 − x − 12 _ x − 1 , dann erkennt man, dass sich der Graph der Funktion an zwei Geraden annähert, die Asymptoten genannt werden. Die Definitionslücke dieser Funktion wird auch Polstelle genannt. Eine Asymptote befindet sich bei der Definitionslücke. Es gilt daher a 1: x = 1. Eine schräge Asymptote existiert, wenn der Grad des Zählers größer als der Grad des Nenners ist. Führt man nun eine Polynomdivision durch ((x2 − x − 12) : (x − 1)), so erhält man als Ergebnis x mit Rest − 12. f(x) = x 2 − x − 12 _ x − 1 = x + − 12 _ x − 1 Der Ausdruck − 12 _ x − 1 beschreibt nun den Abstand der Geraden h (h (x) = x) zur Funktion f an jeder Stelle x (vgl. nebenstehende Abbildung). Für sehr große oder sehr kleine x-Werte geht der Bruch − 12 _ x − 1 gegen null und die Funktion verhält sich wie die Funktion h. Die zweite Asymptote lautet daher: a 2: y = x. Asymptote einer Funktion Nähert sich der Graph einer Funktion f einer Geraden beliebig nahe an, ohne diese jedoch zu berühren, dann nennt man diese Gerade eine Asymptote von f. Kompetenzen x f(x) 2 4 6 8 10 12 –8 –6 –4 –2 0 20 40 60 –20 –40 –60 f Asymptoten x y h 2 4 6 8 101214 –2 4 8 12 16 –4 0 – 12 – x + 1 f Ó Technologie Darstellung Asymptoten j7r7a4 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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