165 Erweiterung der Differentialrechnung > Ableitung weiterer Funktionen Ableitungsregeln für Potenzfunktionen mit reellen Exponenten Schreibe den Term als Potenz mit einer rationalen Hochzahl an. a) 1 _ x 3 b) 2 _ x 7 c) 5 _ x 6 d) 9 _ x e) 4 9 _ x 7 f) 2 9 _ x 9 g) 3 _ 9 _ x h) − 2 _ 4 9 _ x 7 i) 1 _ 9 _ x 3 In Kapitel 2 wurde die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten bewiesen. Dies war für Polynomfunktionen ausreichend. Mit den neuen Erkenntnissen kann diese Regel auch auf Potenzfunktionen mit beliebigen reellen Exponenten erweitert werden. Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit reellen Exponenten f(x) = x r (r ∈ ℝ) ⇒ f‘(x) = r·xr−1 Beweis der Ableitungsregel für Potenzfunktionen Um die Ableitungsregel zu beweisen, muss folgender Zusammenhang verwendet werden: e ln(x) = x. Verwendet man diesen Zusammenhang, dann kann die bereits bekannte Ableitungsregel für die natürliche Exponentialfunktion sowie die Kettenregel angewandt werden: f(x) = x r = (e ln(x)) r = e r · ln(x) ⇒ f‘(x) = e r · ln(x) · 1 _ x · r = (e ln(x)) r · 1 _ x · r Ersetzt man nun wieder e ln(x) durch x, erhält man die obige Behauptung: f‘(x) = x r · 1 _ x ·r = r·x r−1 Bestimme die Ableitungsfunktion von f. a) f(x) = 5 _ x 3 b) f(x) = 9 _ x 9 c) f(x) = 1 _ 9 3 x 2 − 5 x a) Diese Aufgabe könnte mit der Quotientenregel gelöst werden. Durch Anwendung der obigen Regel, kann man die Ableitung auch auf folgende Art berechnen: f(x) = 5·x−3 ⇒ f‘(x) = − 15 · x−4 = − 15 _ x 4 b) f(x) = x 9 _ 2 ⇒ f‘(x) = 9 _ 2 · x 7 _ 2 = 9 _ 2 · 9 _ x 7 c) f(x) = (3 x 2 − 5 x) − 1 _ 2 ⇒ f‘(x) = − 1 _ 2 · (3 x 2 − 5 x) −3 _ 2 · (6 x − 5) = − 6 x − 5 _ 2 9 (3 x 2 − 5 x) 3 Bestimme die Ableitungsfunktion von f. a) f(x) = − 2 _ x 3 − x −3 c) f(x) = − 12 _ x − 2 _ x 4 e) f(x) = x 2 − 5 x 3 − 3 _ x 14 b) f(x) = 3 _ x 8 + 2 _ x 12 d) f(x) = 4 _ x 3 + 12 _ x 12 f) f(x) = 3 x −4 − x 3 _ x 12 + 12 Bestimme die Ableitungsfunktion von f. a) f(x) = 3 9 _ x 4 b) f(x) = 7 9 _ x 6 c) f(x) = 4 9 _ x 11 d) f(x) = 1 _ 9 _ x 3 e) f(x) = − 5 _ 9 _ x 7 Bestimme die Ableitungsfunktion von f. a) f(x) = 1 _ 9 2 x 3 − x 2 b) f(x) = − 3 _ 9 2 x 2 + 3 x c) f(x) = 25 _ 9 6x+2x 8 d) f(x) = − 12 _ 9 7 x 3 + x 2 Beweise die Gültigkeit der gegebenen Regel. a) f(x) = 9 _ g (x) ⇒ f‘(x) = g‘(x) _ 2 9 _ g (x) b) f(x) = 3 9 _ g (x) ⇒ f‘(x) = g‘(x) _ 3 · 3 9 _g (x) 2 Vorwissen 624 Merke Muster 625 t 626 t 627 628 629 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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