AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 2.1 164 Erweiterung der Differentialrechnung > Ableitung weiterer Funktionen 7 Ableitungsregeln für Exponential- und Logarithmusfunktionen Erkläre, was man unter einer Exponentialfunktion versteht und zeichne den Graphen der Funktionen f bzw. g mit f(x) = 2 x bzw. g(x) = ( 1 _ 2) x . Was versteht man unter der natürlichen Exponentialfunktion und der Euler’schen Zahl? Zeichne weiters den Graphen der natürlichen Exponentialfunktion. Die natürliche Exponentialfunktion (f(x) = e x) wird in den Naturwissenschaften oft verwendet. Eine große Besonderheit dieser Funktion ist, dass die Funktion und ihre Ableitung gleich sind. Die Steigung der Tangente an jeder Stelle der Funktion ist daher gleich dem Funktionswert an dieser Stelle (Beweise der folgenden Sätze siehe Seite 275). Ableitungsregeln für Exponential- und Logarithmusfunktionen f(x) = e x g(x) = a x h(x) = ln(x) s(x) = log a x f‘(x) = e x g‘(x) = a x · ln(a) h‘(x) = 1 _ x s‘(x) = 1 _ x · ln(a) Bestimme die Ableitungsfunktion von f. a) f(x) = e −4 x b) f(x) = 2 3 x 2 c) f(x) = ln(3 x 2 − 2) Da f die Verkettung mehrerer Funktionen ist, muss jeweils die Kettenregel verwendet werden. a) f‘(x) = e −4 x · (− 4) b) f‘(x) = 2 3 x 2 · ln(2) ·6x = 6x·23 x 2 · ln(2) c) f‘(x) = 1 _ 3 x 2 − 2 ·6x = 6 x _ 3 x 2 − 2 Bestimme die Ableitungsfunktion von f. a) f(x) = e 3 x f) f(x) = 3 5 x k) f(x) = ln(8 x) p) f(x) = log 2(5 x) b) f(x) = e −5 x − 2 g) f(x) = 5 −8 x l) f(x) = ln(5 x) q) f(x) = log 3(8 x) c) f(x) = e 7 x + 4 x h) f(x) = 10 −4 x m) f(x) = ln(2 x 2) r) f(x) = log 2(2 x 2) d) f(x) = e −5 x + 3 x3 i) f(x) = 2 −4 x n) f(x) = − 5 · ln(4 x) s) f(x) = 5 · log 2(10 x) e) f(x) = − 2 e −5 x − x 2 j) f(x) = 3·5−8 x o) f(x) = 5 · ln(3 x 3) t) f(x) = − 3 · log 3(3 x 3) Bestimme die Ableitungsfunktion von f. a) f(x) = x 2 · e −3 x c) f(x) = 3 −4 x · ln(x 2) e) f(x) = log 3(5 x) · ln(2 x) b) f(x) = ln(3 x) · e −3 x d) f(x) = 2 5 x · ln(3 x) f) f(x) = log 2(2 x) · e 4 x Die Anfangstemperatur eines Körpers T0 kühlt im Laufe der Zeit bis auf seine Umgebungstemperatur TU ab. Dieser Zusammenhang kann durch folgenden Abnahmeprozess modelliert werden: T(t) = T U + (T 0 − T U) · e λ·t (t in Minuten, T in °C) Die Abkühlungskonstante λ ist abhängig vom Material. Die Anfangstemperatur einer Tasse Kakao ist 80°. Die Raumtemperatur ist 21°, die Abkühlungskonstante − 0, 13. a) Berechne die mittleren Änderungsraten von T in den Intervallen [0; 2] und [2; 4] und interpretiere die Ergebnisse. b) Berechne die momentanen Änderungsraten von T zu den Zeitpunkten t = 2, t = 4und t = 20Minuten. Interpretiere die Ergebnisse. Vorwissen 618 619 Merke Ó Technologie Darstellung Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktionen mv2mh5 Muster 620 t 621 Ó Arbeitsblatt Exponential- und Logarithmusfunktionen 2hf7e2 622 M2 623 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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