AN-R 1.3 AN-R 1.3 161 Erweiterung der Differentialrechnung > Weitere Ableitungsregeln Bilde die erste Ableitung von f mit Hilfe der Kettenregel. a) f(x) = (3 x 2 − 4) 7 c) f(x) = (− 2 x 3 + 12 x) 11 e) f(x) = (2 x 4 + 3 x5) 5 b) f(x) = (3 x 6 − 2 x 2) 3 d) f(x) = (− 2x + 3x2) 9 f) f(x) = (− x 6 + 2 x3) 13 Berechne die erste Ableitung und gib an, welche Regeln verwendet wurden. a) f(x) = (2 x − 3) 2 · (2 + x) c) f(x) = (3 x 2 − 1) 3 · (3 − 4 x) b) f(x) = (2 x 2 + 1) 2 · (2 x 2 + 1) 2 d) f(x) = (− x 3 − 1) 3 · (x 2 + 1) Berechne die erste Ableitung von f. a) f(x) = x · (2 x − 3) 2 _ (3 x − 7) 2 b) f(x) = (2 x − 1) · (6 x 2 − 2 x) 2 ___________ (2 x − 3) 2 c) f(x) = (2 x + 3) 3 _ x 3 Das Gesetz von Boyle und Mariotte besagt, dass der Druck p (in bar) abgeschlossener Gase bei gleichbleibender Temperatur indirekt proportional zum Volumen V (in dm3) ist. Es gilt: p(V) = k _ V, k konstant a) Berechne die Differenzenquotienten von p in den Intervallen [1; 3] und [3; 5] und interpretiere die Ergebnisse im gegebenen Kontext. b) Berechne die momentane Änderung von p für V = 10 dm3 und interpretiere das Ergebnis. Die durchschnittliche Geschwindigkeit v eines Fahrzeugs auf einer r Meter langen Strecke in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden) kann mittels v(t) = r _ t berechnet werden. Berechne die momentane Änderungsrate von v zum Zeitpunkt t = 12 sund interpretiere das Ergebnis. Implizites Differenzieren Oft sind Funktionsgleichungen nicht in der expliziten Form (z.B. y = − 2 x + 2), sondern in impliziter Form (z.B. 2 x + y = 2) gegeben. Um auch implizite Darstellungen differenzieren zu können, muss die Kettenregel verwendet werden, da y von x abhängig ist. Um z.B. die Ableitung y′ aus der Kreisgleichung x2 + y 2 = 9zu bestimmen, wird jeder Teil für sich differenziert (sowohl die linke Seite als auch die rechte Seite). Es ist zu beachten, dass y für y > 0eine Funktion von x ist und daher die Kettenregel angewendet werden muss. 2 x + 2 y · y′ = 0 ⇒ y‘ = − x _ y Ermittle die Ableitung durch implizites Differenzieren. a) x 2 + y 2 = 16 c) − x 2 − 3 y 3 = 16 e) x − 3 y 2 = 16 x2 b) 3 x 2 − 2 y 2 = 12 d) − x 2 + 3 x − 4 y 4 = 3 f) y 2 − 23 x 2 = 2 x Ermittle die Ableitung durch implizites Differenzieren. a) 2 xy = 5 c) 5 x 3 y + 2y3 = 4 e) 2y + 3x2 y = 5 b) − 3 x 2 y = 5 d) 2 x 2 y − 3 y 3 = x f) − 3 x 3 y 2 + 2 y = 2 Implizites Differenzieren Geogebra: ImpliziteAbleitung(Funktionsterm, y, x) ImpliziteAbleitung(x2 + y2 – 9, y, x) -x/y Casio: impDiff(Gleichung, x, y) impDiff(x2 + y2 = 9, x, y) -x/y TI-Nspire: impDif(Gleichung, x, y) impDif(x2 + y2 = 9, x, y) -x/y t 601 t 602 603 M2 604 605 606 607 Technologie Ó Technologie Anleitung implizites Differenzieren 244cz8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=