160 Erweiterung der Differentialrechnung > Weitere Ableitungsregeln 7 Bestimme die erste Ableitung von f mit f(x) = (− 2 x) 3 a) indem zuerst umgeformt und dann differenziert wird b) durch Verwendung der Konstantenregel. a) f(x) = − 8 x 3 ⇒ f‘(x) = − 24 x 2 b) f(x) = (− 2 x)3 ⇒ f‘x = − 2 · 3 · (− 2 x) 2 = − 6·4x4 = − 24 x 2 konstanter Faktor k = −2 Bestimme die erste Ableitung von f 1) indem zuerst umgeformt und dann differenziert wird 2) durch Verwendung der Konstantenregel. a) f(x) = (− 2 x) 4 c) f(x) = (9 _ 3 x) 6 e) f(x) = (2 _ 3 x) 5 g) f(x) = (π · x) 5 b) f(x) = (3 x) 2 d) f(x) = (9 _ 2 x) 8 f) f(x) = (− 3 _ 4 x) 3 h) f(x) = (2 x) 8 Bestimme die erste Ableitung von f und gib an, welche Regeln verwendet wurden. a) f(x) = (2 x 3) · (3 x) 2 b) f(x) = (− 4 x) 2 · (2 x) 3 c) f(x) = (3 x) 3 _ 2 x − 4 d) f(x) = (− 5 x) 2 _ 2 x 2 − 3 Vervollständige den folgenden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist. Ist (1) , dann ist (2) . (1) (2) f(t) = r · h(t), r ∈ ℝ f‘(t) = r · h‘(r · t), r ∈ ℝ f(t) = h(r · t), r ∈ ℝ f‘(t) = r‘·h‘(t), r ∈ ℝ f(t) = h(t) _ r , r ∈ ℝ \ {0} f‘(t) = h‘(t), r ∈ ℝ Die Kettenregel Eine Verallgemeinerung der Konstantenregel ist die Kettenregel. Ist f die Verkettung zweier beliebiger Funktionen g und h (f(x) = g(h(x))), dann kann die Kettenregel verwendet werden (ohne Beweis). Die Kettenregel f(x) = g(h(x)) f‘(x) = g‘(h(x)) · h‘(x) (kurz: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“) (Dabei wird g‘(h(x)) als äußere Ableitung und h ‘(x) als innere Ableitung bezeichnet.) Bilde die erste Ableitung von f(x) = (3 x 2 − 5 x) 2 a) ohne b) mit Verwendung der Kettenregel. a) f(x) = 9 x4 − 30 x 3 + 25 x2 ⇒ f‘(x) = 36 x3 − 90 x 2 + 50 x b) Die Funktion f ist eine Verkettung zweier Funktionen. Bei der Kettenregel muss die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung multipliziert werden: f‘(x) = 2 · (3 x2 − 5 x) · (6 x − 5) = 2 · (18 x 3 − 45 x 2 + 25 x) = 36 x3 − 90 x 2 + 50 x „äußere Ableitung“ „innere Ableitung“ Bilde die erste Ableitung von f 1) ohne 2) mit Verwendung der Kettenregel. a) f(x) = (− 3 x 2 + 1) 2 c) f(x) = (− 3 x 3 + 2 x) 2 e) f(x) = (− 2x + x2) 3 b) f(x) = (2 x 3 + 1) 2 d) f(x) = (− x 2 + 3 x) 2 f) f(x) = (− 3 x 3 + 2 x) 3 Muster 595 t 596 t 597 AN-R 2.1 M1 598 Merke Muster 599 { { t 600 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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