159 Erweiterung der Differentialrechnung > Weitere Ableitungsregeln Bestimme die erste Ableitung von f 1) durch Kürzen 2) mit Hilfe der Quotientenregel. a) f(x) = x 6 _ x 3 b) f(x) = x 4 _ x c) f(x) = 2 x 5 _ 7 x 2 d) f(x) = − 5 x 12 _ 5 x 6 e) f(x) = 27 x 15 _ 3 x 14 Bestimme die erste Ableitung von f. a) f(x) = 2 _ x 5 b) f(x) = − 3 _ x 4 c) f(x) = 12 _ − x 3 d) f(x) = − 2 x _ x 9 e) f(x) = 12 x 2 _ 4 x 7 Bestimme die erste Ableitung von f. a) f(x) = − 5 x _ 2 x − 1 c) f(x) = − x 2 + 4 _ 3 x 2 − 1 e) f(x) = 2 x 2 − 8 x _ x − 1 g) f(x) = x 3 + 2 x2 _ − 3 x 2 + x b) f(x) = − 3 x 2 _ 4 − 2 x d) f(x) = − 5 x − 3 _ 2 − x 2 f) f(x) = − 5 x 2 − x _ 3 x − 1 h) f(x) = − 4 x 3 − 2 x _ 3 x 2 + 2 x Bestimme die Gleichung der Tangente von f an der Stelle p. a) f(x) = 2 x _ 3 x − 4 p = 2 c) f(x) = 5 _ 2 x 2 + 3 p = 1 e) f(x) = 2 x − 7 _ 3 x + 1 p=5 b) f(x) = − x 2 _ 4 x − 2 p = − 1 d) f(x) = 3 _ 2 x − 6 p = − 3 f) f(x) = x 2 − 3 _ 2x + x2 p = 3 In welchen Punkten des Graphen von f ist die Tangentensteigung gleich k? a) f(x) = − 4 _ 3 x − 7 k = 3 _ 4 b) f(x) = − 2 x 2 + 1 _ 2 − x k = − 5 c) f(x) = − 3 x 2 + 1 _ 4 − 3 x k = − 12 Lösung von Aufgabe 593 mittels Technologie Geogebra: f(x): = − 4 _ 3 x − 7 Löse(f‘(x) = 3 _ 4 , x) {x = 1, x = 11 _ 3 } Casio: Define f(x) = − 4 _ 3 x − 7 solve( d _ dx(f(x)) = 3 _ 4 , x) {x = 1, x = 11 _ 3 } TI-Nspire: Define f(x) = − 4 _ 3 x − 7 solve( d _ dx(f(x)) = 3 _ 4 , x) {x = 1, x = 11 _ 3 } Beweise die Quotientenregel durch Ausführung der einzelnen Schritte. a) Stelle den Differentialquotienten von f an der Stelle x der Funktion f mit f(x) = g(x) _ h(x) auf und bringe diesen auf die Form: f‘(x) = lim z→x g(z) · h(x) − g(x) · h(z) ____________ (z − x) · h(z) · h(x) b) Füge im Zähler den Ausdruck − g(x) · h(x) + g(x) · h(x) ein und erkläre, warum dieser Schritt zulässig ist. c) Leite mit Hilfe des erhaltenen Ausdrucks die Quotientenregel her. Die Konstantenregel Um Funktionen der Form f(x) = g(k · x)zu differenzieren (k ∈ ℝ), wie z.B. f(x) = (2 x) 3, kann eine weitere Regel verwendet werden. Natürlich kann man f(x) auch zuerst potenzieren und f anschließend mit der Potenzregel differenzieren, aber z.B. für f(x) = sin(3 x) ist die Konstantenregel hilfreich. (Beweis auf Seite 273) Die Konstantenregel f(x) = g(k · x), k ∈ ℝ f‘(x) = k · g‘(k · x) t 589 t 590 t 591 592 593 Technologie Ó Technologie Anleitung Aufgabe 593 bb4v45 594 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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