158 Erweiterung der Differentialrechnung > Weitere Ableitungsregeln 7 Berechne die erste Ableitung von f mit f(x) = (− 2 x 3 + 1) · (− 2 − 7 x) a) durch Ausmultiplizieren b) durch Anwendung der Produktregel. a) f(x) = 14 x4 + 4 x3 − 7 x − 2 ⇒ f‘(x) = 56 x3 + 12 x2 − 7 b) Verwendet man die Produktregel, müssen zuerst g und h sowie ihre Ableitungen bestimmt werden: g(x) = − 2 x 3 + 1 g‘(x) = − 6 x 2 h(x) = − 2 − 7 x h‘(x) = − 7 Durch Einsetzen in die Produktregel erhält man: f‘(x) = − 6 x 2 · (− 2 − 7 x) + (− 2 x 3 + 1) · (− 7) = 12 x2 + 42 x3 + 14 x3 − 7= 56x3 + 12 x2 − 7 Bestimme die erste Ableitung von f 1) durch Ausmultiplizieren 2) mit Hilfe der Produktregel. a) f(x) = (− x 5 + 1) · (3 x 3) d) f(s) = (3 s 2 + 2 s) · (− s − 3 s 3) b) f(x) = (− 2 x 5) · (− 3 + 7x2) e) f(x) = (− 2 x 3 + 1) · (3 x 5 − 3 x 6) c) f(t) = (3 t 2 + 1 t) · (− 2 t − 7 t 3) f) f(g) = (− g 2 + 1 g) · (2 + 3g4) Bestimme die Steigung der Tangente von f an der Stelle x = − 3. Verwende für die Ableitung der Funktion die Produktregel. a) f(x) = x 2 · (− 5 x 3 + 4 x2) c) f(x) = (− 2 x 3 − x 6) · (3 − 2 x 2) b) f(x) = (− 2 x 4 − 3 x 3) · (− 12x + 4x2) d) f(x) = (x 2 − 2 x) · (− x − x 2) a) Beweise mit Hilfe der Produktregel, dass gilt: f = u · v · w ⇒ f‘ = u‘ · v · w + u · v‘ · w + u · v · w‘ b) Verwende die Regel aus a) um die Ableitungsfunktion von f zu bestimmen. 1) f(x) = x 2 · (x 3 − 2 x 2) · (4 x 2) 3) f(x) = (x 2 − 2) · (3 x − 2 x 3) · (− 5x + x3) 2) f(x) = x 4 · (− x + 4x5) · (− x + 4x2) 4) f(x) = (x 3 + 8) · (− 2x + x2) · (− 5 + 2x2) Tipp: Fasse f als Produkt der Funktionen (u · v) und w auf und verwende die Produktregel. Die Quotientenregel Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 3 _ x (x ≠ 0). a) Kürze zuerst den Bruch und ermittle anschließend f‘(x). b) Es sei f(x) = g(x) _ h(x). Bestimme g(x) und h(x) der gegebenen Funktion und überprüfe, ob gilt f‘(x) = g‘(x) _ h‘(x). Die Quotientenregel (Beweis siehe Aufgabe 594) f(x) = g(x) _ h(x) f‘(x) = g‘(x) · h(x) − g(x) · h‘(x) ____________ (h(x)) 2 kurz: f‘ = g‘ · h − g · h‘ _ h 2 Berechne die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = 3 x 2 − 2 x _ 3 x + 4 . Für die Berechnung der ersten Ableitung muss man zuerst g und h sowie ihre Ableitungen bestimmen: g(x) = 3 x2 − 2 x ⇒ g‘(x) = 6 x − 2 h(x) = 3 x + 4 ⇒ h‘(x) = 3 Durch Einsetzen in die Quotientenregel erhält man: f‘(x) = (6 x − 2) · (3 x + 4) − (3 x 2 − 2 x) · 3 _________________ (3 x + 4) 2 = 18 x 2 + 24 x − 6 x − 8 − 9 x 2 + 6 x _______________ (3 x + 4) 2 = 9 x 2 + 24 x − 8 _ (3 x + 4) 2 Muster 583 t 584 t 585 586 587 Merke Muster 588 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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