157 7.1 Weitere Ableitungsregeln Lernziele: º Die Konstantenregel kennen und anwenden können º Die Produktregel kennen und anwenden können º Die Quotientenregel kennen und anwenden können º Die Kettenregel kennen und anwenden können (AN-L 2.2) Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 2.1 E infache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für [k · f(x)]‘ und [f(k x)]‘ Anmerkung: Im Teil „Vernetzung von Grundkompetenzen“ können mit Hilfe technologischer Werkzeuge auch komplexere Differentiationsmethoden angewandt und umgesetzt werden. Die Produktregel In den Kapiteln 2 und 3 wurden Polynomfunktionen differenziert. Dabei hat man z.B. die Summenregel und die Potenzregel verwendet. Um Produkte oder Quotienten von Funktionen zu differenzieren, sind neue Regeln notwendig, wie das folgende Beispiel zeigt: Es wird die Funktion f mit f(x) = (3 x − 4) · (2 x 2 + 3 x)betrachtet und die Ableitung von f gesucht. f kann durch Ausmultiplizieren auf Polynomform gebracht werden und anschließend mit den bekannten Methoden differenziert werden: f(x) = 6 x3 + x 2 − 12 x ⇒ f‘(x) = 18 x2 + 2 x − 12 Würde man versuchen, jeden Faktor einzeln zu differenzieren, würde man auf folgendes Ergebnis kommen: f‘(x) = 3 · (4 x + 3) = 12 x + 9 Die beiden Ergebnisse stimmen also nicht überein, d.h. die zweite Methode ist offensichtlich falsch. In 7.2 werden Funktionen der Form f(x) = g(x) · h(x) behandelt, die man nicht auf Polynomform bringen kann. Aus diesem Grund wird die Produktregel benötigt. Die Produktregel f(x) = g(x) · h(x) f‘(x) = g‘(x) · h(x) + g(x) · h‘(x) kurz: f‘ = g‘ · h + g · h‘ Beweis der Produktregel Um die Produktregel zu beweisen, wird der Differentialquotient verwendet: f‘(x) = lim z→x f(z) − f(x) _ z − x = lim z→x g(z) · h(z) − g(x) · h(x) ____________ z − x Nun wird ein Trick angewendet. Man fügt im Zähler den Ausdruck − g(x) · h(z) + g(x) · h(z) (also 0) ein und erhält durch Umformen die Produktregel: f‘(x) = lim z→x g(z) · h(z) − g(x) · h(z) + g(x) · h(z) − g(x) · h(x) ________________________ z − x = = lim z→x h(z) · (g(z) − g(x)) _ z − x + lim z→x g(x) · (h(z) − h(x)) _ z − x = g‘(x) · h(x) + g(x) · h‘(x) Kompetenzen Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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