156 7 Erweiterung der Differentialrechnung Annäherung an das Unveränderliche Manchmal ist das Differenzieren einer Funktion eine rechnerische Herausforderung. Wäre es nicht schön, eine Funktion zu haben, die sich beim Ableiten nicht verändert? Ich habe mich auf die Suche gemacht. 1. Idee: Leiten wir die Funktion a ab: a (x) = 1 + x ⇒ a‘(x) = 1 a ist offensichtlich nicht die gesuchte Funktion. Aber ganz unzufrieden sollten wir mit a nicht sein. Immerhin stimmt a‘ in einem Summanden von a überein. 2. Idee: Leiten wir die Funktion b ab: b (x) = 1 + x + x 2 _ 2 ⇒ b‘(x) = 1 + x b‘ stimmt diesmal in zwei Summanden von b überein! 3. Idee: Leiten wir die Funktion c ab: c (x) = 1 + x + x 2 _ 2 + x3 ___ 3 · 2 ⇒ c‘(x) = 1 + x + x2 _ 2 c‘ stimmt diesmal in drei Summanden von c überein! Nun seid ihr dran: Aufgabe 1: Findet eine Funktion d, die in vier Summanden mit d‘ übereinstimmt. Aufgabe 2: Findet eine Funktion e, die in fünf Summanden mit e‘ übereinstimmt. Aufgabe 3: Wie könnte eine Funktion aussehen, die vollständig mit ihrer Ableitung übereinstimmt? Aufgabe 4: Berechnet einmal e (1). An welche Zahl erinnert das e-rgebnis? Zur Mode®®ierung der meisten Anwendungssituationen reichen Po®ynomfunktionen nicht aus. Rea®e Zusammenhänge werden oft besser durch komp®iziertere Funktionstypen beschrieben. In diesem Kapite® werden Techniken des Differenzierens vermitte®t, die man für das Untersuchen so®cher Funktionen benötigt. Um einen Weg zu finden, benutzt du vie®®eicht manchma® das GPS auf deinem Smartphone. Diese einfach zu handhabende technische Anwendung baut auf außergewöhn®ichen und komp®izierten Erkenntnissen der Naturwissenschaften, genauer gesagt der Relativitätstheorie, auf. Die herausragenden Erkenntnisse der Differentia®rechnung unter®iegen auch einem ähn®ichen Schicksa®: Ein Jahrtausendprob®em wird aufbauend auf den mathematischen Erkenntnissen von Jahrhunderten ge®öst und sch®ieß®ich soweit auf Rechenrege®n vereinfacht, dass man dieses Prob®em auf sehr einfache Weise immer wieder „gedanken®os“ ®ösen kann. Diese Arbeit kann man dann auch getrost Maschinen über®assen. In diesem Kapitel wirst du diese Funktion kennen lernen. Sie wurde von Leonhard Euler (Tipp!) gefunden. g epostet von Funktionsfan2 5.5.2023 6:48 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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