154 6 Weg zur Matura Parameterdarstellung von Kurven > Teil-2-ähnliche Aufgaben Teil-2-ähnliche Aufgaben Hin und her Der Körper K besitzt die Bahnkurve k: X = ( 5 · cos(t) 0). Der Körper M besitzt die Bahnkurve m : X = ( 0 5 · cos(2 t)); t ≥ 0. a) 1) Bestimme den Abstand der beiden Körper zum Zeitpunkt t = 0. 2) Zeige, dass sich die Körper K und M im Intervall t ∈ [0; 2 π] nicht treffen. 3) Bestimme die Durchschnittsgeschwindigkeit des Körpers K (ohne Angabe der Einheit) im Intervall t ∈ [0; π]. b) Der Körper L besitzt die Bahnkurve l: X = ( 5 · cos(t) 5 · sin(2 t)); t ∈ [0; 2 π]. 1) Bestimme, welche der abgebildeten Kurven die Bahnkurve l beschreibt. x y 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 a x y 1 2 –2 –1 1 2 –2 –1 0 b x y 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 c x y 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 d Rundherum Ein Körper m befindet sich auf einer Kreisbahn um den Ursprung des Koordinatensystems. ⎯ ⇀r (t) = ( r · sin(t + π _ 2 ) r · cos(t + π _ 2 )) ist der Vektor (Bahnvektor) vom Ursprung zum Ort des Körpers m zum Zeitpunkt t ≥ 0. a) 1) Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Der Durchmesser der Kreisbahn beträgt 2 ⇀r. B Zum Zeitpunkt t = 0befindet sich der Körper m auf der x-Achse. C Zum Zeitpunkt t = π/2befindet sich der Körper auf der x-Achse. D |⎯ ⇀r (t)| = r E Der Körper bewegt sich im Uhrzeigersinn. b) Die Ableitung eines Vektors wird koordinatenweise durchgeführt: Für ⇀a = ( x(t) y(t)) ist die erste Ableitung ⇀a ‘ = ( x‘(t) y‘(t)). Die Momentangeschwindigkeit ⇀vdes Körpers m entspricht der Ableitung des Vektors ⎯ ⇀r (t). Die Beschleunigung ⇀ades Körpers m entspricht der zweiten Ableitung des Vektors ⎯ ⇀r (t). 1) Zeige, dass ⇀vnormal auf ⎯ ⇀r (t) steht. 2) Zeige, dass der Betrag der Momentangeschwindigkeit konstant ist. 3) Zeige, dass ⇀ain Richtung des Bahnmittelpunkts zeigt. c) Ein anderer Körper k besitzt den Bahnvektor ⎯ ⇀ r 2(t) = ( 0 r · cos(t)). 1) Beschreibe die Bewegung des Körpers k. M2 576 K M2 577 x y 2 4 6 8 –4 –2 2 4 –4 –2 0 m r k _À Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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