153 6.2 Kurven im Raum Lernziele: º Parameterdarstellung von Schraubenlinien kennen º Kurven in Parameterdarstellung mit Technologieeinsatz zeichnen und untersuchen können Fügt man der Parameterdarstellung einer Kurve im ℝ 2 noch eine dritte Koordinate hinzu, so erhält man die Parameterdarstellung einer Kurve im Raum. Die Parameterdarstellung der Kurve k: X = ( r cos(t) r sin (t) 0) mit t ∈ [0; 2 π] beschreibt zum Beispiel einen Kreis in der xy-Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius r. Sie beschreibt die kreisförmige Bewegung eines Körpers gegen den Uhrzeigersinn. Ändert sich die z-Koordinate des Kreises mit dem Parameter t, so ändert sich während der Kreisbewegung auch die z-Koordinate (Höhe) des Punktes. Man erhält im Intervall [0; 2 n π]n Umdrehungen einer Schraubenlinie: s: X = ( r cos(t) r sin (t) t) mit t ∈ [0; 2 n π] Bei den Parameterdarstellungen s1, s 2, s 3 wird jeweils ein Merkmal verändert. Zeichne die Kreis- und Schrauben-Linien und stelle fest, wie diese Veränderung die Form der Kurve beeinflusst. a) s 1 : X = ( 2 cos(t) 2 sin(t) 0) mit t ∈ [0; 2 π]; s 2 : X = ( 3 cos(t) 3 sin(t) 0) mit t ∈ [0; 2 π]; s 3 : X = ( 5 cos(t) 5 sin(t) 0) mit t ∈ [0; 2 π] b) s 1 : X = ( 2 cos(t) 2 sin(t) t) mit t ∈ [0; 2 π]; s 2 : X = ( 2 cos(t) 2 sin(t) t) mit t ∈ [0; 4 π]; s 3 : X = ( 2 cos(t) 2 sin(t) t) mit t ∈ [0; 6 π] c) s 1 : X = ( 4 cos(t) 4 sin(t) t) mit t ∈ [0; 2 π]; s 2 : X = ( 4 cos(2 t) 4 sin(2 t) t) mit t ∈ [0; 2 π]; s 3 : X = ( 4 cos(4 t) 4 sin(4 t) t) mit t ∈ [0; 2 π] d) s 1 : X = ( 3 t cos(t) 3 t sin(t) 2 t) mit t ∈ [0; 8 π]; s 2 : X = ( 3 t cos(t) 3 t sin(t) t) mit t ∈ [0; 8 π]; s 3 : X = ( 3 t cos(t) 3 t sin(t) 0, 5 t) mit t ∈ [0; 8 π] Zusammenfassung Parameterdarstellung des Kreises k k: X = (x M + r cos(t)| y M + r sin(t)) mit t ∈ [0; 2 π] k: X = ( x M y M ) + ( r cos(t) r sin(t)) mit t ∈ [0; 2 π] r: Kreisradius; M = (x M| y M): Mittelpunkt des Kreises Kompetenzen x z y k –4 –2 –2 –4 –4 –2 –2 –6 2 2 4 6 0 4 6 x z y k –8 –4 –4 –8 –8 –2 –4 –12 4 4 8 12 0 8 12 16 20 Ó Technologie Darstellung Schraubenlinie m74z4q 575 x y r sin t t k r M yM xM r cos t X Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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