152 Parameterdarstellung von Kurven > Kurven in der Ebene Beurteile, welche der beiden Bahnkurven eine schnellere Bewegung beschreibt, und begründe deine Entscheidung. a) k 1: X = ( 1 2) + ( 3 cos(t) 3 sin(t)); k 2: X = ( 1 2) + ( 3 cos 2(t) 3 sin 2(t)) b) k 1: X = ( 3 cos(t) 3 sin(t)); k 2: X = ( 3 cos(5 t) 3 sin(5 t)) Die Spirale Die Spirale wird durch die Bewegung eines Körpers erzeugt, der sich kreisförmig um einen Punkt bewegt, dessen Bahnradius (Abstand zum Mittelpunkt) allerdings ständig größer wird. Ersetzt man in der Parameterform der Kreisgleichung k: X = ( r cos(t) r sin(t)) den konstanten Wert r des Radius durch den variablen Wert t, so erhält man folgende Parameterform: s: X = ( t cos(t) t sin (t)) = (t cos(t)|t sin(t)) mit t ∈ [0; 4 π]. Die Entstehung der so beschriebenen Kurve kann man sich als „Kreis“ vorstellen, dessen Radius mit zunehmendem Wert von t immer größer wird: eine Spirale. 1) Stelle folgende Spiralkurven s1und s2mit Technologieeinsatz dar. 2) Wodurch unterscheiden sich die durch s 1und s2beschriebenen Bewegungen? 3) Wie kann man in der Angabe diese Bewegungsunterschiede erkennen? a) s 1: X = (t cos(t)|t sin(t)); t ∈ [0; 4 π] s 2: X = (2 t cos(t)|2 t sin(t)); t ∈ [0; 4 π] b) s 1: X = (t cos(t)|t sin(t)); t ∈ [0; 6 π] s 2: X = (t cos(− t)|t sin(− t)); t ∈ [0; 6 π] c) s 1: X = (t cos(t)|t sin(t)); t ∈ [0; 8 π] s 2: X = ((t + 2)cos(t)|(t + 2)sin(t)); t ∈ [0; 8 π] d) s 1: X = (t cos(t)|t sin(t)); t ∈ [0; 8 π] s 2: X = (t cos(2 t)|2 t sin(2 t)); t ∈ [0; 4 π] Die Zykloide (oder Radlinie) x y 4 8 12 –4 4 –4 0 t = 0 k M P x y 4 8 12 –4 4 –4 0 t = 1 k P M x y 4 8 12 –4 4 –4 0 t = 3,5 k P M x y 4 8 –4 4 –4 0 t = 10,6 k P M Die Zykloide wird durch einen Punkt erzeugt, der sich entlang einer Kreislinie bewegt, deren Mittelpunkt sich entlang einer Geraden verschiebt. Um die Kurve der Zykloide zu erhalten, bestimmt man zuerst die Bahnkurve k eines Punktes P, der sich im Uhrzeigersinn mit dem konstanten Bahnradius (z.B. r = 3) um den Ursprung bewegt: k: X = ( 0 0) + ( 3 cos(− t) 3 sin(− t)). Nun macht man den Kreismittelpunkt „beweglich“, indem man seine x-Koordinate durch den Parameter t ersetzt. Der Mittelpunkt wandert also mit zunehmendem t nach rechts. Man erhält die Kurve der Zykloide z: X = ( t 0) + ( 3 cos(− t) 3 sin(− t)). 1) Stelle folgende Zykloiden z1, z 2und z3mit Technologieeinsatz im Intervall [0; 6 π] dar. 2) Wodurch unterscheiden sich die Zykloiden? 3) Wie kann man diese Unterschiede in der Angabe erkennen? a) z 1: X = ( t 0) + ( 3 cos(− t) 3 sin(− t)); z 2: X = ( 3 t 0) + ( 3 cos(− t) 3 sin(− t)); z 3: X = ( 3 t 0) + ( 3 cos(− t) 3 sin(− t)) b) z 1: X = ( t 0) + ( 3 cos(− t) 3 sin(− t)); z 2: X = ( t 3) + ( 3 cos(− t) 3 sin(− t)); z 3: X = ( t − 3 ) + ( 3 cos(− t) 3 sin(− t)) 572 Ó Arbeitsblatt Kurven Parameter i85ai6 573 x y s Ó Technologie Darstellung Spirale 9r4mn9 574 Ó Technologie Darstellung Spurpunkte der Epizykloide 7hn8bi Ó Technologie Darstellung Rosenkurven r6w2bi Ó Arbeitsblatt Kurven Parameter Zuordnung 26h638 Ó Technologie Darstellung Zykloide pv8jj8 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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