151 Parameterdarstellung von Kurven > Kurven in der Ebene Parameterdarstellung einer Ellipse Um die Parameterdarstellung einer Ellipse zu erhalten, ersetzt man in der Parameterdarstellung eines Kreises (mit M = (0|0 )) den Radius durch die beiden Parameter a und b der Ellipse. Bei der x-Koordinate ersetzt man den Radius durch die Länge der großen Halbachse a und bei der y-Koordinate durch die Länge der kleinen Halbachse b. Parameterdarstellung einer Ellipse Für alle Punkte X einer Ellipse ell mit den Halbachsen a und b gilt: ell: X = (a cos(t)|b sin(t)) mit t ∈ [0; 2 π] Gib die Parameterdarstellung der Ellipse ell an. a) e ll: 4 x2 + 9 y2 = 36 c) ell: 9 x2 + 25 y2 = 225 e) ell: 4 x2 + 9 y2 = 144 b) ell: x2 + 10 y2 = 10 d) ell: x2 + 3 y2 = 12 f) ell: 3 x2 + 5 y2 = 30 Andere Kurven in Parameterdarstellung – Bewegungskurven Für die Aufgaben dieses Abschnitts ist der Einsatz von Technologie vorgesehen. Die Parameterdarstellung eignet sich sehr gut, um Kurven darzustellen, die sich aus den Bewegungen eines (punktförmigen) Körpers ergeben (Bewegungskurven). Der Parameter t kann dann als die Zeit betrachtet werden, die seit dem Anfang der Bewegung vergangen ist, und jeder Punkt der Kurve markiert die Stelle, an der der Körper zum Zeitpunkt t war. Die Kreiskurve k: X = ( 3 2) + ( 5 cos(t) 5 sin(t))beschreibt nach dieser „Bewegungsinterpretation“ die kreisförmige Bewegung eines Körpers um den Mittelpunkt M = (3|2 ). Für t = 0ergibt sich die Anfangslage des Körpers, für t = 1 ergibt sich die Stelle, an der der Punkt nach einer Sekunde ist, usw. Die Kurve k wird als die Bahn(-kurve) eines Körpers interpretiert, der sich gegen den Uhrzeigersinn auf einer Kreisbahn um den Mittelpunkt M im Abstand 5 bewegt. Verändert man das Vorzeichen des Winkels in der Parameterdarstellung von k, so erhält man die Kurve m: X = ( 3 2) + ( 5 cos(− t) 5 sin(− t)). Diese beschreibt nach dieser Interpretation die gleiche kreisförmige Bewegung wie k, nur mit umgekehrtem Umlaufsinn. Der Körper bewegt sich nun im Uhrzeigersinn In den folgenden Aufgaben werden ein paar ausgewählte Kurventypen ausführlicher behandelt, die sich aus Bewegungen von Körpern ergeben. x y t a b P = (a · cos (t) 1 b · sin (t)) a · cos (t) b · sin (t) Merke 571 x y 2 4 6 8 101214 –2 2 4 6 8 –2 0 M r = 5 k Ort des Körpers zum Zeitpunkt t = 2 Ort des Körpers zum Zeitpunkt t = 1 Ort des Körpers zum Zeitpunkt t = 0 (Anfangsort) x y 2 4 6 8 101214 –2 2 4 6 –4 –2 0 M r = 5 m Ort des Körpers zum Zeitpunkt t = 2 Ort des Körpers zum Zeitpunkt t = 1 Ort des Körpers zum Zeitpunkt t = 0 (Anfangsort) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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