150 Parameterdarstellung von Kurven > Kurven in der Ebene 6 Zum Kreis k sind zwei Definitionsmengen des Parameters t in Intervallschreibweise gegeben. Zeichne den Kreis k für beide Intervalle in ein Koordinatensystem und beschreibe, wie sich die veränderte Definitionsmenge des Parameters t auf die Kurve auswirkt. a) k: X = (2 cos(t)|2 sin(t)) 1) [0; π _ 2 ] 2) [π; 2 π] c) k: X = (50 cos(t)|50 sin(t)) 1) [0; π] 2) [π; 2 π] b) k: X = (3 cos(t)|3 sin(t)) 1) [π _ 2 ; π] 2) [ 3 π _ 2 ; 2 π] d) k: X = (cos(t)|sin(t)) 1) [0; π _ 4 ] 2) [π; 5 π _ 4 ] Folgende Kurve ist Teil eines Kreises. Gib dessen Parameterform an. a) x y 2 4 –4 –2 2 4 –2 0 k b) x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 k c) x y 1 2 –2 –1 1 2 –1 0 k Zeige, dass die Parameterdarstellung k: X = (r cos(t)|r sin(t)) mit t ∈ [0; 2 π]einen Kreis beschreibt, indem du die x- und y-Koordinate in die implizite Kreisgleichung einsetzt. Ein Körper bewegt sich auf einer Kreisbahn k. Der Parameter t gibt die Flugzeit in Sekunden an, die Werte der Koordinaten sind in Meter angegeben. a) k: X = (8 cos(t · 2 π _ 5 )|8 sin(t · 2 π _ 5 )) mit t ∈ [0; 15} b) k: X = (cos(t · π _ 15)|sin(t · π _ 15)) mit t ∈ [0; 20] 1) Bestimme den Radius der Kreisbahn. 2) Wie lange benötigt der Körper, um einen vollen Kreis zurückzulegen, und wie viele volle Kreise fliegt der Körper? 3) Bestimme die Geschwindigkeit des Körpers in m/s und in km/h. 4) Bestimme die Parameterdarstellung der Flugbahn eines Körpers, der in 10 m Entfernung um den Koordinatenursprung kreist und für einen vollen Kreis acht Sekunden benötigt. Parameterdarstellung eines Kreises k mit M = (x M| y M) Für alle Punkte X eines Kreises k mit dem Radius r gilt: k: X = (xM + r · cos(t)| y M + r · sin(t)) mit t ∈ [0; 2 π] Eine weitere Darstellungsart ist: k: X = ( x M y M ) + ( r cos(t) r sin(t)) mit t ∈ [0; 2 π] Gib die Parameterdarstellung des Kreises k mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M an. a) r = 3; M = (2|5 ) b) r = 1; M = (− 3|2 ) c) r = 50; M = (0|50) d) r = 0,1; M = (1|1 ) Gib die Parameterdarstellung für den abgebildeten (nicht ganz sichtbaren) Kreis an. a) x y 2 4 6 8 10 –2 2 4 –2 0 k b) x y 1 2 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 0 k c) x y 2 4 –4 –2 –6 –4 –2 0 k 565 566 567 568 Merke x y r sin t t k r M yM xM r cos t X = (xM + r cos t 1 yM + r sin t) 569 570 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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