15 Gleichungen höheren Grades > Nullstellen von Polynomfunktionen Um die Nullstellen zu bestimmen, sind die Gleichungen f(x)= 0, g(x) = 0und h(x) = 0zu lösen. f(x) = 0hat eine reelle Lösung, d.h. f hat eine (einfache) Nullstelle. g hat zwei Nullstellen, wobei es sich bei der zweiten Nullstelle (dem Berührpunkt des Graphen von g mit der x-Achse) um eine zweifache Nullstelle handelt. Diese Stelle tritt zweimal als Lösung der Gleichung g(x) = 0auf. h hat drei (einfache) Nullstellen. Mehr als drei Nullstellen sind bei Polynomfunktionen vom Grad 3 nicht möglich. Bestimme die Nullstellen der Funktion f. a) f(x) = x 3 − 3 x + 52 c) f(x) = x 3 − x 2 − 20 x e) f(x) = x 3 − 3 x + 2 b) f(x) = x 3 − 12 x + 16 d) f(x) = x 3 − 4 x 2 − 2 x + 20 f) f(x) = x 3 − x 2 − 6 x Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit f(x) = x 4 − x 3 − 3 x 2 + 5 x − 2. Anhand des Graphen erkennt man, dass f die Nullstellen x 1 = − 2 und x 2 = 1besitzt. Es soll rechnerisch gezeigt werden, dass es sich bei x2um eine dreifache Nullstelle handelt. Dazu wird zunächst der Linearfaktor (x + 2)durch eine Polynomdivision abgespalten: (x 4 − x 3 − 3 x 2 + 5 x − 2) : (x + 2) = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 Da x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 = (x − 1) 3 gilt, handelt es sich bei x 2= 1um eine dreifache Nullstelle. Der Graph der Funktion f schmiegt sich an dieser Stelle an die x-Achse an. Mehrfache Nullstelle Ist x 0 eine mehrfache Nullstelle einer Polynomfunktion f, so schmiegt sich der Graph von f an dieser Stelle an die x-Achse (die waagrechte Achse) an. Zeige, dass es sich bei der Stelle x 0 um eine mehrfache Nullstelle handelt. a) f(x) = x 3 + 3 x2 − 24 x − 80, x 0 = − 4 c) f(x) = x 4 + 14 x3 + 60 x2 + 50 x − 125, x 0 = − 5 b) f(x) = x 3 − 9 x 2 + 15 x − 7, x 0 = 1 d) f(x) = x 4 + 2 x3 − 2 x − 1, x 0 = − 1 Gegeben ist der Graph einer normierten Polynomfunktion f. Gib die Funktionsgleichung von f an. Die Nullstellen sind ganzzahlig. a) x f(x) 2 4 –2 10 –10 0 f b) x f(x) 2 4 –2 10 –10 0 f c) x f(x) 2 4 –2 10 –10 0 f Bestimme die Nullstellen der Polynomfunktion und gib deren Vielfachheit an. a) f(x) = x 2 + x − 20 d) f(x) = x 3 − 8 x 2 + 5 x + 50 b) f(x)= 5 x2 + 9 x − 2 e) f(x)= 2 x4 + 11 x3 + 18 x2 + 4 x − 8 c) f(x) = x 3 − 5 x 2 − 12 x − 14 f) f(x) = x 4 − 10 x 3 + 36 x2 − 54 x + 27 t 32 x f(x) 1 2 –2 –1 5 10 –5 0 f Muster 33 Merke 34 t 35 Ó Arbeitsblatt Bestimmen von Polynomfunktionen u4vg7y 36 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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