149 Parameterdarstellung von Kurven > Kurven in der Ebene Parameterdarstellung einer Kreislinie Vereinfachend wird hier der Ausdruck Kreis als Synonym für Kreislinie verwendet. Die implizite Darstellung des abgebildeten Kreises k lautet: k: x 2 + y 2 = 25. Eine explizite Darstellung ist nur möglich, wenn man zwei Funktionsgleichungen zur Beschreibung zulässt. Man erhält diese, indem man die Koordinate y aus der impliziten Darstellung explizit ausdrückt und beachtet, dass die Wurzel positiv oder negativ sein kann. Blauer Teil des Kreises: f1(x) = 9 _25 − x 2 ; x ∈ [− 5; 5] Roter Teil des Kreises: f2(x) = − 9 _25 − x 2 ; x ∈ [− 5; 5] Ein großer Vorteil der Parameterdarstellung liegt darin, dass man in der Wahl des Parameters gewisse Freiheiten besitzt. Wenn man den Winkel t als Parameter nimmt, so kann man die x- und y-Koordinate jedes Punktes X auf dem Kreis k (in nebenstehender Abbildung) durch diesen Parameter t ausdrücken: x = 5 cos(t); y = 5 sin(t) ⇒ k: X = (5 cos(t)|5 sin(t)); mit t ∈ [0; 2 π] Parameterdarstellung eines Kreises k mit M = (0|0 ) Für alle Punkte X eines Kreises k mit dem Radius r gilt: k: X = (r cos(t)|r sin(t)) mit t ∈ [0; 2 π] Eine weitere Darstellungsart ist: k: X = ( r cos(t) r sin(t)) mit t ∈ [0; 2 π] Gib eine Parameterdarstellung des Kreises k mit dem Radius r an, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. a) r = 4 b) r = 1 c) r = 100 d) r = 0,4 e) r = 7 f) r = a Parameterdarstellung einer Kurve Geogebra: Kurve(Ausdruck, Ausdruck, Parameter, Anfangswert, Endwert) Kurve(2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 π) Casio: Grafik & Tabelle-Anwendung ⇒ g ⇒ Parameterdarstellung eingeben ⇒ K TI-Nspire: menu ⇒ Graph-Eingabe/Bearbeitung ⇒ Parametrisch Bestimme den Radius des Kreises k und gib dessen implizite Darstellung an. a) k: X = (7 cos(t)|7 sin(t)) mit t ∈ [0; 2 π] c) k: X = (9 cos(t)|9 sin(t)) mit t ∈ [0; 2 π] b) k: X = (cos(t)|sin(t)) mit t ∈ [0; 2 π] d) k: X = (0, 5 cos(t)|0, 5 sin(t)) mit t ∈ [0; 2 π] Gib die Koordinaten der Punkte auf dem Kreis k an, die den Werten t1, t 2, t 3entsprechen. a) k: X = (cos(t)|sin(t)); t 1 = 0; t2 = π _ 2 ; t 3 = π b) k: X = (4 cos(t)|4 sin(t)); t 1 = π _ 2 ; t 2 = 5 π _ 2 ; t 3 = 1 x y 2 4 6 8 –6 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 k f1 f2 x y 4 6 8 –6 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 5 sin t t k r = 5 5 cos t X = (5 cos t 1 5 sin t) Merke x y 2 4 6 8 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 k t r X = (r cos t 1 r sin t) Ó Technologie Darstellung Parameterdarstellung Kreis j6mi2c 562 Technologie 563 564 Ó Technologie Anleitung Parameterdarstellung einer Kurve 24tg2z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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